Решение задачи: Упрощение тригонометрического выражения и вычисление

Вариант 1 Задание 1. Упростите выражение: \[ \cos \left( \frac{\pi}{6} + \alpha \right) - \frac{\sqrt{3}}{2} \cos \alpha \] Решение: Воспользуемся формулой косинуса суммы: \( \cos(x + y) = \cos x \cos y - \sin x \sin y \). \[ \cos \left( \frac{\pi}{6} + \alpha \right) - \frac{\sqrt{3}}{2} \cos \alpha = \cos \frac{\pi}{6} \cos \alpha - \sin \frac{\pi}{6} \sin \alpha - \frac{\sqrt{3}}{2} \cos \alpha \] Подставим табличные значения \( \cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} \) и \( \sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2} \): \[ \frac{\sqrt{3}}{2} \cos \alpha - \frac{1}{2} \sin \alpha - \frac{\sqrt{3}}{2} \cos \alpha = - \frac{1}{2} \sin \alpha \] Ответ: \( - \frac{1}{2} \sin \alpha \). Задание 2. Вычислите: \[ \sin 69^\circ \cos 21^\circ + \cos 69^\circ \sin 21^\circ \] Решение: Воспользуемся формулой синуса суммы: \( \sin x \cos y + \cos x \sin y = \sin(x + y) \). \[ \sin 69^\circ \cos 21^\circ + \cos 69^\circ \sin 21^\circ = \sin(69^\circ + 21^\circ) = \sin 90^\circ \] Так как \( \sin 90^\circ = 1 \), получаем: \[ \sin 90^\circ = 1 \] Ответ: 1. Задание 3. Зная, что \( \sin t = \frac{4}{5} \) и \( \frac{\pi}{2} < t < \pi \), вычислите \( \cos \left( \frac{\pi}{6} + t \right) \). Решение: 1) Сначала найдем \( \cos t \). Используем основное тригонометрическое тождество \( \sin^2 t + \cos^2 t = 1 \): \[ \cos^2 t = 1 - \sin^2 t = 1 - \left( \frac{4}{5} \right)^2 = 1 - \frac{16}{25} = \frac{9}{25} \] Так как угол \( t \) находится во второй четверти (\( \frac{\pi}{2} < t < \pi \)), косинус в этой четверти отрицателен: \[ \cos t = -\sqrt{\frac{9}{25}} = -\frac{3}{5} \] 2) Теперь вычислим искомое выражение по формуле косинуса суммы: \[ \cos \left( \frac{\pi}{6} + t \right) = \cos \frac{\pi}{6} \cos t - \sin \frac{\pi}{6} \sin t \] Подставим известные значения: \[ \cos \left( \frac{\pi}{6} + t \right) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \left( -\frac{3}{5} \right) - \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{5} = -\frac{3\sqrt{3}}{10} - \frac{4}{10} = \frac{-3\sqrt{3} - 4}{10} \] Ответ: \( \frac{-3\sqrt{3} - 4}{10} \).