Решение задач по тригонометрии

Вариант 1 Задание 1. Вычислите: \[ \frac{\text{tg } 85^\circ - \text{tg } 25^\circ}{1 + \text{tg } 85^\circ \text{tg } 25^\circ} \] Решение: Для решения воспользуемся формулой тангенса разности двух углов: \[ \text{tg}(\alpha - \beta) = \frac{\text{tg } \alpha - \text{tg } \beta}{1 + \text{tg } \alpha \text{tg } \beta} \] В нашем случае \( \alpha = 85^\circ \), а \( \beta = 25^\circ \). Подставим их в формулу: \[ \frac{\text{tg } 85^\circ - \text{tg } 25^\circ}{1 + \text{tg } 85^\circ \text{tg } 25^\circ} = \text{tg}(85^\circ - 25^\circ) = \text{tg } 60^\circ \] Из таблицы значений тригонометрических функций известно, что: \[ \text{tg } 60^\circ = \sqrt{3} \] Ответ: \( \sqrt{3} \). Задание 2. Найдите \( \text{tg } \alpha \), если \( \text{tg} \left( \alpha + \frac{\pi}{4} \right) = 4 \). Решение: Воспользуемся формулой тангенса суммы: \[ \text{tg}(\alpha + \beta) = \frac{\text{tg } \alpha + \text{tg } \beta}{1 - \text{tg } \alpha \text{tg } \beta} \] Подставим \( \beta = \frac{\pi}{4} \). Известно, что \( \text{tg } \frac{\pi}{4} = 1 \). Тогда: \[ \text{tg} \left( \alpha + \frac{\pi}{4} \right) = \frac{\text{tg } \alpha + 1}{1 - \text{tg } \alpha \cdot 1} = \frac{\text{tg } \alpha + 1}{1 - \text{tg } \alpha} \] По условию это выражение равно 4: \[ \frac{\text{tg } \alpha + 1}{1 - \text{tg } \alpha} = 4 \] Решим полученное уравнение относительно \( \text{tg } \alpha \). Обозначим для удобства \( \text{tg } \alpha = x \): \[ \frac{x + 1}{1 - x} = 4 \] \[ x + 1 = 4(1 - x) \] \[ x + 1 = 4 - 4x \] Перенесем слагаемые с \( x \) в левую часть, а числа в правую: \[ x + 4x = 4 - 1 \] \[ 5x = 3 \] \[ x = \frac{3}{5} = 0,6 \] Следовательно, \( \text{tg } \alpha = 0,6 \). Ответ: 0,6.