Доказательство тождества: sin(45° - α) / cos(45° - α) = (cos α - sin α) / (cos α + sin α)

Вариант 1 Задание 1. Докажите тождество: \[ \frac{\sin(45^\circ - \alpha)}{\cos(45^\circ - \alpha)} = \frac{\cos \alpha - \sin \alpha}{\cos \alpha + \sin \alpha} \] Доказательство: Рассмотрим левую часть тождества и применим формулы синуса и косинуса разности аргументов: \[ \sin(45^\circ - \alpha) = \sin 45^\circ \cos \alpha - \cos 45^\circ \sin \alpha \] \[ \cos(45^\circ - \alpha) = \cos 45^\circ \cos \alpha + \sin 45^\circ \sin \alpha \] Подставим значения \( \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \) и \( \cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \): \[ \frac{\frac{\sqrt{2}}{2} \cos \alpha - \frac{\sqrt{2}}{2} \sin \alpha}{\frac{\sqrt{2}}{2} \cos \alpha + \frac{\sqrt{2}}{2} \sin \alpha} \] Вынесем общий множитель \( \frac{\sqrt{2}}{2} \) за скобки в числителе и знаменателе: \[ \frac{\frac{\sqrt{2}}{2} (\cos \alpha - \sin \alpha)}{\frac{\sqrt{2}}{2} (\cos \alpha + \sin \alpha)} \] Сократим дробь на \( \frac{\sqrt{2}}{2} \): \[ \frac{\cos \alpha - \sin \alpha}{\cos \alpha + \sin \alpha} \] Левая часть равна правой части. Тождество доказано. Задание 2. Решите уравнение: а) \( \sin 3x \cos 2x - \cos 3x \sin 2x = -0,5 \) Решение: Используем формулу синуса разности \( \sin(\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta \): \[ \sin(3x - 2x) = -0,5 \] \[ \sin x = -0,5 \] Решим простейшее тригонометрическое уравнение: \[ x = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z} \] Ответ: \( x = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z} \). б) \( \sqrt{2} \sin \left( \frac{\pi}{4} - x \right) + \sin x = -\frac{1}{2} \) Решение: Раскроем синус разности: \[ \sqrt{2} \left( \sin \frac{\pi}{4} \cos x - \cos \frac{\pi}{4} \sin x \right) + \sin x = -\frac{1}{2} \] Подставим значения \( \sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} \) и \( \cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} \): \[ \sqrt{2} \left( \frac{\sqrt{2}}{2} \cos x - \frac{\sqrt{2}}{2} \sin x \right) + \sin x = -\frac{1}{2} \] Раскроем скобки: \[ \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}}{2} \cos x - \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}}{2} \sin x + \sin x = -\frac{1}{2} \] \[ 1 \cdot \cos x - 1 \cdot \sin x + \sin x = -\frac{1}{2} \] Приведем подобные слагаемые: \[ \cos x = -0,5 \] Решим уравнение: \[ x = \pm \arccos(-0,5) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} \] \[ x = \pm \left( \pi - \frac{\pi}{3} \right) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} \] \[ x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} \] Ответ: \( x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} \).