Решение контрольной работы: Квадратные уравнения

Контрольная работа №1. Решите уравнение: а) \( 3x^2 - 5x - 8 = 0 \) Найдем дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-8) = 25 + 96 = 121 \] \[ \sqrt{D} = \sqrt{121} = 11 \] Корни уравнения: \[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + 11}{6} = \frac{16}{6} = 2\frac{2}{3} \] \[ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - 11}{6} = \frac{-6}{6} = -1 \] Ответ: \( -1; 2\frac{2}{3} \). б) \( 49x^2 - 4 = 0 \) \[ 49x^2 = 4 \] \[ x^2 = \frac{4}{49} \] \[ x = \pm \sqrt{\frac{4}{49}} \] \[ x_1 = \frac{2}{7}, x_2 = -\frac{2}{7} \] Ответ: \( \pm \frac{2}{7} \). в) \( 7x^2 = 21x \) \[ 7x^2 - 21x = 0 \] Вынесем общий множитель за скобки: \[ 7x(x - 3) = 0 \] \[ 7x = 0 \text{ или } x - 3 = 0 \] \[ x_1 = 0, x_2 = 3 \] Ответ: \( 0; 3 \). №2. Разложите на множители квадратный трёхчлен: \( 9x^2 - 2x - 11 \). Для разложения найдем корни уравнения \( 9x^2 - 2x - 11 = 0 \): \[ D = (-2)^2 - 4 \cdot 9 \cdot (-11) = 4 + 396 = 400 \] \[ \sqrt{D} = 20 \] \[ x_1 = \frac{2 + 20}{18} = \frac{22}{18} = \frac{11}{9} \] \[ x_2 = \frac{2 - 20}{18} = \frac{-18}{18} = -1 \] Используем формулу \( a(x - x_1)(x - x_2) \): \[ 9x^2 - 2x - 11 = 9(x - \frac{11}{9})(x + 1) = (9x - 11)(x + 1) \] Ответ: \( (9x - 11)(x + 1) \). №3. Решите уравнение: а) \( \frac{x^2}{x + 2} = \frac{3x - 2}{x + 2} \) ОДЗ: \( x + 2 \neq 0 \Rightarrow x \neq -2 \). Так как знаменатели равны, приравниваем числители: \[ x^2 = 3x - 2 \] \[ x^2 - 3x + 2 = 0 \] По теореме Виета: \[ x_1 + x_2 = 3 \] \[ x_1 \cdot x_2 = 2 \] Получаем \( x_1 = 1, x_2 = 2 \). Оба корня подходят по ОДЗ. Ответ: \( 1; 2 \). б) \( \frac{x^2 + 4x - 21}{x^2 - 9} = \frac{2}{x + 3} \) ОДЗ: \( x^2 - 9 \neq 0 \Rightarrow x \neq \pm 3 \). Разложим числитель первой дроби: \( x^2 + 4x - 21 = (x + 7)(x - 3) \). Разложим знаменатель: \( x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3) \). Уравнение примет вид: \[ \frac{(x + 7)(x - 3)}{(x - 3)(x + 3)} = \frac{2}{x + 3} \] Сократим на \( (x - 3) \), учитывая ОДЗ: \[ \frac{x + 7}{x + 3} = \frac{2}{x + 3} \] \[ x + 7 = 2 \] \[ x = -5 \] Корень подходит по ОДЗ. Ответ: \( -5 \). №4. Задача. Пусть \( x \) км/ч — скорость течения реки. Тогда скорость лодки по течению: \( (9 + x) \) км/ч, а против течения: \( (9 - x) \) км/ч. Время против течения: \( t_1 = \frac{80}{9 - x} \) ч. Время по течению: \( t_2 = \frac{80}{9 + x} \) ч. По условию \( t_1 - t_2 = 2 \): \[ \frac{80}{9 - x} - \frac{80}{9 + x} = 2 \] Разделим всё уравнение на 2: \[ \frac{40}{9 - x} - \frac{40}{9 + x} = 1 \] Приведем к общему знаменателю: \[ \frac{40(9 + x) - 40(9 - x)}{(9 - x)(9 + x)} = 1 \] \[ \frac{360 + 40x - 360 + 40x}{81 - x^2} = 1 \] \[ \frac{80x}{81 - x^2} = 1 \] \[ 80x = 81 - x^2 \] \[ x^2 + 80x - 81 = 0 \] По теореме Виета: \[ x_1 = 1, x_2 = -81 \] Скорость не может быть отрицательной, значит \( x = 1 \). Ответ: скорость течения реки 1 км/ч.