Решение уравнения: x^2/(x+2)=(3x-2)/(x+2) и (x^2+4x-21)/(x^2-9)=2/(x+3)

№3. Решите уравнение: а) \(\frac{x^2}{x+2} = \frac{3x-2}{x+2}\) Перенесем всё в одну сторону: \[\frac{x^2 - (3x - 2)}{x+2} = 0\] \[\frac{x^2 - 3x + 2}{x+2} = 0\] Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю: 1) \(x^2 - 3x + 2 = 0\) По теореме Виета: \(x_1 + x_2 = 3\) \(x_1 \cdot x_2 = 2\) Отсюда \(x_1 = 1\), \(x_2 = 2\). 2) ОДЗ: \(x + 2 \neq 0 \Rightarrow x \neq -2\). Оба корня подходят под ОДЗ. Ответ: 1; 2. б) \(\frac{x^2 + 4x - 21}{x^2 - 9} = \frac{2}{x+3}\) Разложим знаменатель первой дроби по формуле разности квадратов: \[\frac{x^2 + 4x - 21}{(x-3)(x+3)} - \frac{2}{x+3} = 0\] Приведем к общему знаменателю \((x-3)(x+3)\): \[\frac{x^2 + 4x - 21 - 2(x-3)}{(x-3)(x+3)} = 0\] \[\frac{x^2 + 4x - 21 - 2x + 6}{(x-3)(x+3)} = 0\] \[\frac{x^2 + 2x - 15}{(x-3)(x+3)} = 0\] Решим уравнение для числителя: \(x^2 + 2x - 15 = 0\) По теореме Виета: \(x_1 + x_2 = -2\) \(x_1 \cdot x_2 = -15\) Отсюда \(x_1 = 3\), \(x_2 = -5\). Проверим ОДЗ: \(x^2 - 9 \neq 0 \Rightarrow x \neq 3\) и \(x \neq -3\). Корень \(x = 3\) не подходит по ОДЗ (знаменатель обращается в ноль). Остается только \(x = -5\). Ответ: -5. №4. Задача. Пусть \(x\) км/ч — скорость течения реки. Тогда скорость лодки по течению: \((9 + x)\) км/ч. Скорость лодки против течения: \((9 - x)\) км/ч. Время в пути против течения: \(t_1 = \frac{80}{9-x}\) ч. Время в пути по течению: \(t_2 = \frac{80}{9+x}\) ч. По условию задачи время против течения на 2 часа больше, чем по течению: \[\frac{80}{9-x} - \frac{80}{9+x} = 2\] Разделим обе части уравнения на 2: \[\frac{40}{9-x} - \frac{40}{9+x} = 1\] Приведем к общему знаменателю: \[\frac{40(9+x) - 40(9-x)}{(9-x)(9+x)} = 1\] \[\frac{360 + 40x - 360 + 40x}{81 - x^2} = 1\] \[\frac{80x}{81 - x^2} = 1\] \[80x = 81 - x^2\] \[x^2 + 80x - 81 = 0\] По теореме Виета: \(x_1 + x_2 = -80\) \(x_1 \cdot x_2 = -81\) Отсюда \(x_1 = 1\), \(x_2 = -81\). Так как скорость не может быть отрицательной, выбираем \(x = 1\). Ответ: 1 км/ч.