Решение системы линейных уравнений матричным методом

Решение системы линейных уравнений матричным методом. Дана система: \[ \begin{cases} x_1 + x_2 - x_3 = 1 \\ 8x_1 + 3x_2 - 6x_3 = 2 \\ 4x_1 + x_2 - 3x_3 = 3 \end{cases} \] Запишем систему в матричном виде \( AX = B \), где: \[ A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 8 & 3 & -6 \\ 4 & 1 & -3 \end{pmatrix}, \quad X = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} \] Решение находится по формуле \( X = A^{-1} \cdot B \). 1. Находим определитель матрицы \( A \): \[ \Delta = \det(A) = 1 \cdot (3 \cdot (-3) - (-6) \cdot 1) - 1 \cdot (8 \cdot (-3) - (-6) \cdot 4) - 1 \cdot (8 \cdot 1 - 3 \cdot 4) \] \[ \Delta = 1 \cdot (-9 + 6) - 1 \cdot (-24 + 24) - 1 \cdot (8 - 12) = -3 - 0 + 4 = 1 \] Так как \( \Delta \neq 0 \), матрица невырожденная и обратная матрица существует. 2. Находим алгебраические дополнения \( A_{ij} \): \[ A_{11} = (-1)^{1+1} \begin{vmatrix} 3 & -6 \\ 1 & -3 \end{vmatrix} = -9 + 6 = -3 \] \[ A_{12} = (-1)^{1+2} \begin{vmatrix} 8 & -6 \\ 4 & -3 \end{vmatrix} = -(-24 + 24) = 0 \] \[ A_{13} = (-1)^{1+3} \begin{vmatrix} 8 & 3 \\ 4 & 1 \end{vmatrix} = 8 - 12 = -4 \] \[ A_{21} = (-1)^{2+1} \begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 1 & -3 \end{vmatrix} = -(-3 + 1) = 2 \] \[ A_{22} = (-1)^{2+2} \begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 4 & -3 \end{vmatrix} = -3 + 4 = 1 \] \[ A_{23} = (-1)^{2+3} \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 4 & 1 \end{vmatrix} = -(1 - 4) = 3 \] \[ A_{31} = (-1)^{3+1} \begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 3 & -6 \end{vmatrix} = -6 + 3 = -3 \] \[ A_{32} = (-1)^{3+2} \begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 8 & -6 \end{vmatrix} = -(-6 + 8) = -2 \] \[ A_{33} = (-1)^{3+3} \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 8 & 3 \end{vmatrix} = 3 - 8 = -5 \] 3. Составляем обратную матрицу \( A^{-1} = \frac{1}{\Delta} \cdot A^T \): \[ A^{-1} = \frac{1}{1} \begin{pmatrix} -3 & 2 & -3 \\ 0 & 1 & -2 \\ -4 & 3 & -5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 & 2 & -3 \\ 0 & 1 & -2 \\ -4 & 3 & -5 \end{pmatrix} \] 4. Находим неизвестные \( X \): \[ X = \begin{pmatrix} -3 & 2 & -3 \\ 0 & 1 & -2 \\ -4 & 3 & -5 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \cdot 1 + 2 \cdot 2 - 3 \cdot 3 \\ 0 \cdot 1 + 1 \cdot 2 - 2 \cdot 3 \\ -4 \cdot 1 + 3 \cdot 2 - 5 \cdot 3 \end{pmatrix} \] \[ X = \begin{pmatrix} -3 + 4 - 9 \\ 0 + 2 - 6 \\ -4 + 6 - 15 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -8 \\ -4 \\ -13 \end{pmatrix} \] Ответ: \( x_1 = -8, x_2 = -4, x_3 = -13 \).