Решение задачи: Расчет длины взлетной полосы

Хорошо, давайте решим задачи по порядку. 1. Рассчитайте длину взлетной полосы, если скорость самолета 300 км/ч, а время разгона 40 с. Дано: Начальная скорость \(v_0 = 0\) (самолет начинает движение с места) Конечная скорость \(v = 300\) км/ч Время разгона \(t = 40\) с Переведем скорость в м/с: \(v = 300 \text{ км/ч} = 300 \cdot \frac{1000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} = \frac{3000}{36} \text{ м/с} = \frac{250}{3} \text{ м/с} \approx 83.33 \text{ м/с}\) Найдем ускорение самолета: \[a = \frac{v - v_0}{t}\] \[a = \frac{\frac{250}{3} \text{ м/с} - 0 \text{ м/с}}{40 \text{ с}} = \frac{250}{3 \cdot 40} \text{ м/с}^2 = \frac{250}{120} \text{ м/с}^2 = \frac{25}{12} \text{ м/с}^2 \approx 2.08 \text{ м/с}^2\] Найдем длину взлетной полосы (пройденный путь): \[S = v_0 t + \frac{at^2}{2}\] Так как \(v_0 = 0\), то \[S = \frac{at^2}{2}\] \[S = \frac{\frac{25}{12} \text{ м/с}^2 \cdot (40 \text{ с})^2}{2} = \frac{25}{12} \cdot \frac{1600}{2} \text{ м} = \frac{25}{12} \cdot 800 \text{ м} = \frac{25 \cdot 200}{3} \text{ м} = \frac{5000}{3} \text{ м} \approx 1666.67 \text{ м}\] Ответ: Длина взлетной полосы примерно 1666.67 м. 2. Скорость гоночного автомобиля в момент начала разгона 10 м/с, ускорение 5 м/с\(^2\). Определите путь, пройденный автомобилем за 10 с после начала движения. Какова скорость автомобиля в конце десятой секунды разгона? Дано: Начальная скорость \(v_0 = 10\) м/с Ускорение \(a = 5\) м/с\(^2\) Время \(t = 10\) с Найдем путь, пройденный автомобилем: \[S = v_0 t + \frac{at^2}{2}\] \[S = 10 \text{ м/с} \cdot 10 \text{ с} + \frac{5 \text{ м/с}^2 \cdot (10 \text{ с})^2}{2}\] \[S = 100 \text{ м} + \frac{5 \cdot 100}{2} \text{ м} = 100 \text{ м} + \frac{500}{2} \text{ м} = 100 \text{ м} + 250 \text{ м} = 350 \text{ м}\] Найдем скорость автомобиля в конце десятой секунды: \[v = v_0 + at\] \[v = 10 \text{ м/с} + 5 \text{ м/с}^2 \cdot 10 \text{ с} = 10 \text{ м/с} + 50 \text{ м/с} = 60 \text{ м/с}\] Ответ: Путь, пройденный автомобилем, равен 350 м. Скорость автомобиля в конце десятой секунды равна 60 м/с. 3. Тормозной путь автомобиля, движущегося со скоростью 100 км/ч, равен 10 м. Чему равен тормозной путь этого же автомобиля при скорости 100 км/ч? В условии задачи, скорее всего, опечатка. Предположим, что вопрос звучит так: "Тормозной путь автомобиля, движущегося со скоростью 50 км/ч, равен 10 м. Чему равен тормозной путь этого же автомобиля при скорости 100 км/ч?" Дано: Для первого случая: Начальная скорость \(v_1 = 50\) км/ч Тормозной путь \(S_1 = 10\) м Для второго случая: Начальная скорость \(v_2 = 100\) км/ч Торможение происходит с постоянным ускорением (замедлением). Конечная скорость в обоих случаях равна 0. Формула для пути при равноускоренном движении без времени: \[v^2 - v_0^2 = 2aS\] В нашем случае \(v = 0\), поэтому \[-v_0^2 = 2aS\] \[S = -\frac{v_0^2}{2a}\] Знак минус указывает на то, что ускорение отрицательное (замедление). Мы можем использовать модуль ускорения \(|a|\) и тогда \(S = \frac{v_0^2}{2|a|}\). Из первого случая найдем ускорение \(|a|\): Переведем \(v_1\) в м/с: \(v_1 = 50 \text{ км/ч} = 50 \cdot \frac{1000}{3600} \text{ м/с} = \frac{500}{36} \text{ м/с} = \frac{125}{9} \text{ м/с}\) \[|a| = \frac{v_1^2}{2S_1}\] \[|a| = \frac{(\frac{125}{9} \text{ м/с})^2}{2 \cdot 10 \text{ м}} = \frac{\frac{15625}{81}}{20} \text{ м/с}^2 = \frac{15625}{81 \cdot 20} \text{ м/с}^2 = \frac{3125}{324} \text{ м/с}^2 \approx 9.645 \text{ м/с}^2\] Теперь найдем тормозной путь \(S_2\) для \(v_2 = 100\) км/ч. Переведем \(v_2\) в м/с: \(v_2 = 100 \text{ км/ч} = 100 \cdot \frac{1000}{3600} \text{ м/с} = \frac{1000}{36} \text{ м/с} = \frac{250}{9} \text{ м/с}\) \[S_2 = \frac{v_2^2}{2|a|}\] \[S_2 = \frac{(\frac{250}{9} \text{ м/с})^2}{2 \cdot \frac{3125}{324} \text{ м/с}^2} = \frac{\frac{62500}{81}}{\frac{6250}{324}} \text{ м} = \frac{62500}{81} \cdot \frac{324}{6250} \text{ м}\] Заметим, что \(324 = 4 \cdot 81\). \[S_2 = \frac{62500}{81} \cdot \frac{4 \cdot 81}{6250} \text{ м} = \frac{62500 \cdot 4}{6250} \text{ м} = 10 \cdot 4 \text{ м} = 40 \text{ м}\] Ответ: Тормозной путь автомобиля при скорости 100 км/ч равен 40 м. (Если предположить, что в условии была опечатка и первая скорость 50 км/ч). Если же в условии нет опечатки и обе скорости 100 км/ч, то тормозной путь, очевидно, останется 10 м. Но это слишком простая задача для такого раздела. 4. Автомобиль, имея начальную скорость 54 км/ч, при торможении по сухой дороге проходит 30 м, а по мокрой дороге проходит 90 м. Определите для каждого случая ускорение и время торможения. Дано: Начальная скорость \(v_0 = 54\) км/ч Сухая дорога: \(S_1 = 30\) м Мокрая дорога: \(S_2 = 90\) м Переведем начальную скорость в м/с: \(v_0 = 54 \text{ км/ч} = 54 \cdot \frac{1000}{3600} \text{ м/с} = \frac{540}{36} \text{ м/с} = 15 \text{ м/с}\) Конечная скорость \(v = 0\) (автомобиль останавливается). Для сухой дороги: Найдем ускорение \(a_1\): \[v^2 - v_0^2 = 2a_1 S_1\] \[0^2 - (15 \text{ м/с})^2 = 2a_1 \cdot 30 \text{ м}\] \[-225 \text{ м}^2/\text{с}^2 = 60 a_1 \text{ м}\] \[a_1 = -\frac{225}{60} \text{ м/с}^2 = -\frac{45}{12} \text{ м/с}^2 = -\frac{15}{4} \text{ м/с}^2 = -3.75 \text{ м/с}^2\] Найдем время торможения \(t_1\): \[v = v_0 + a_1 t_1\] \[0 = 15 \text{ м/с} + (-3.75 \text{ м/с}^2) t_1\] \[3.75 t_1 = 15\] \[t_1 = \frac{15}{3.75} \text{ с} = 4 \text{ с}\] Для мокрой дороги: Найдем ускорение \(a_2\): \[v^2 - v_0^2 = 2a_2 S_2\] \[0^2 - (15 \text{ м/с})^2 = 2a_2 \cdot 90 \text{ м}\] \[-225 \text{ м}^2/\text{с}^2 = 180 a_2 \text{ м}\] \[a_2 = -\frac{225}{180} \text{ м/с}^2 = -\frac{45}{36} \text{ м/с}^2 = -\frac{5}{4} \text{ м/с}^2 = -1.25 \text{ м/с}^2\] Найдем время торможения \(t_2\): \[v = v_0 + a_2 t_2\] \[0 = 15 \text{ м/с} + (-1.25 \text{ м/с}^2) t_2\] \[1.25 t_2 = 15\] \[t_2 = \frac{15}{1.25} \text{ с} = 12 \text{ с}\] Ответ: Для сухой дороги: ускорение -3.75 м/с\(^2\), время торможения 4 с. Для мокрой дороги: ускорение -1.25 м/с\(^2\), время торможения 12 с. 5. При равноускоренном движении с начальной скоростью 5 м/с тело за 3 с прошло 20 м. С каким ускорением двигалось тело? Какова его скорость в конце третьей секунды? Какой путь оно прошло за вторую секунду? Дано: Начальная скорость \(v_0 = 5\) м/с Время \(t = 3\) с Пройденный путь \(S = 20\) м Найдем ускорение \(a\): \[S = v_0 t + \frac{at^2}{2}\] \[20 \text{ м} = 5 \text{ м/с} \cdot 3 \text{ с} + \frac{a \cdot (3 \text{ с})^2}{2}\] \[20 = 15 + \frac{9a}{2}\] \[20 - 15 = \frac{9a}{2}\] \[5 = \frac{9a}{2}\] \[10 = 9a\] \[a = \frac{10}{9} \text{ м/с}^2 \approx 1.11 \text{ м/с}^2\] Найдем скорость в конце третьей секунды: \[v = v_0 + at\] \[v = 5 \text{ м/с} + \frac{10}{9} \text{ м/с}^2 \cdot 3 \text{ с} = 5 \text{ м/с} + \frac{10}{3} \text{ м/с} = \frac{15}{3} \text{ м/с} + \frac{10}{3} \text{ м/с} = \frac{25}{3} \text{ м/с} \approx 8.33 \text{ м/с}\] Найдем путь, пройденный за вторую секунду. Это разность пути, пройденного за 2 секунды, и пути, пройденного за 1 секунду. Путь за 2 секунды \(S_2\): \[S_2 = v_0 t_2 + \frac{at_2^2}{2}\] \[S_2 = 5 \text{ м/с} \cdot 2 \text{ с} + \frac{\frac{10}{9} \text{ м/с}^2 \cdot (2 \text{ с})^2}{2} = 10 \text{ м} + \frac{\frac{10}{9} \cdot 4}{2} \text{ м} = 10 \text{ м} + \frac{20}{9} \text{ м} = \frac{90+20}{9} \text{ м} = \frac{110}{9} \text{ м}\] Путь за 1 секунду \(S_1\): \[S_1 = v_0 t_1 + \frac{at_1^2}{2}\] \[S_1 = 5 \text{ м/с} \cdot 1 \text{ с} + \frac{\frac{10}{9} \text{ м/с}^2 \cdot (1 \text{ с})^2}{2} = 5 \text{ м} + \frac{5}{9} \text{ м} = \frac{45+5}{9} \text{ м} = \frac{50}{9} \text{ м}\] Путь за вторую секунду \(S_{\text{2-я}}\): \[S_{\text{2-я}} = S_2 - S_1 = \frac{110}{9} \text{ м} - \frac{50}{9} \text{ м} = \frac{60}{9} \text{ м} = \frac{20}{3} \text{ м} \approx 6.67 \text{ м}\] Ответ: Ускорение тела \(10/9\) м/с\(^2\) (примерно 1.11 м/с\(^2\)). Скорость в конце третьей секунды \(25/3\) м/с (примерно 8.33 м/с). Путь, пройденный за вторую секунду, \(20/3\) м (примерно 6.67 м). 6. Кабина лифта поднимается в течение первых 4 с равноускоренно, достигая скорости 4 м/с. С этой скоростью она движется 8 с, а затем 3 с — равнозамедленно до остановки. Определите путь кабины лифта за все время движения. Движение состоит из трех этапов: Этап 1: Равноускоренное движение. Дано: \(v_0 = 0\), \(v_1 = 4\) м/с, \(t_1 = 4\) с. Найдем ускорение \(a_1\): \[a_1 = \frac{v_1 - v_0}{t_1} = \frac{4 \text{ м/с} - 0}{4 \text{ с}} = 1 \text{ м/с}^2\] Найдем путь \(S_1\): \[S_1 = v_0