Решение задачи: Преломление света

Задача №1 Дано: \( \varphi = 17,2^{\circ} \) \( n = 1,7 \) \( \alpha - \beta = \varphi \) Найти: \( \alpha \) — ? Решение: Согласно закону преломления света (закону Снеллиуса): \[ \frac{\sin \alpha}{\sin \beta} = n \] Из условия задачи известно, что угол падения \( \alpha \) больше угла преломления \( \beta \) на \( \varphi \), то есть: \[ \beta = \alpha - \varphi \] Подставим это выражение в закон преломления: \[ \frac{\sin \alpha}{\sin(\alpha - \varphi)} = n \] Воспользуемся формулой синуса разности: \( \sin(\alpha - \varphi) = \sin \alpha \cos \varphi - \cos \alpha \sin \varphi \). \[ \sin \alpha = n (\sin \alpha \cos \varphi - \cos \alpha \sin \varphi) \] Разделим обе части уравнения на \( \cos \alpha \): \[ \text{tg} \alpha = n (\text{tg} \alpha \cos \varphi - \sin \varphi) \] \[ \text{tg} \alpha - n \cdot \text{tg} \alpha \cos \varphi = -n \sin \varphi \] \[ \text{tg} \alpha (n \cos \varphi - 1) = n \sin \varphi \] \[ \text{tg} \alpha = \frac{n \sin \varphi}{n \cos \varphi - 1} \] Подставим числовые значения: \[ \text{tg} \alpha = \frac{1,7 \cdot \sin 17,2^{\circ}}{1,7 \cdot \cos 17,2^{\circ} - 1} \approx \frac{1,7 \cdot 0,2957}{1,7 \cdot 0,9553 - 1} \approx \frac{0,5027}{1,624 - 1} \approx \frac{0,5027}{0,624} \approx 0,8056 \] \[ \alpha = \text{arctg}(0,8056) \approx 38,85^{\circ} \] Ответ: \( \alpha \approx 38,9^{\circ} \). Задача №2 Дано: \( \gamma = 90^{\circ} \) (угол между отраженным и преломленным лучом) \( n = 1,73 \) Найти: \( \alpha \) — ? Решение: Угол отражения равен углу падения \( \alpha \). Угол между отраженным лучом и преломленным равен: \[ 180^{\circ} - (\alpha + \beta) = 90^{\circ} \] Отсюда следует, что \( \alpha + \beta = 90^{\circ} \), или \( \beta = 90^{\circ} - \alpha \). По закону преломления: \[ n = \frac{\sin \alpha}{\sin \beta} = \frac{\sin \alpha}{\sin(90^{\circ} - \alpha)} = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \text{tg} \alpha \] Это условие называется законом Брюстера. \[ \text{tg} \alpha = 1,73 \] Так как \( \sqrt{3} \approx 1,73 \), то: \[ \alpha = \text{arctg}(1,73) = 60^{\circ} \] Ответ: \( \alpha = 60^{\circ} \). Задача №3 Дано: \( \varphi = 20^{\circ} \) (угол шеста к горизонту) \( h = 50 \text{ см} = 0,5 \text{ м} \) \( n_{воды} = 1,33 \) Найти: \( L \) (расстояние от камня до места входа шеста в дно) — ? Решение: 1. Человек видит камень из-за преломления лучей на границе вода-воздух. Угол падения луча из воды в глаз человека обозначим \( \beta \), а угол преломления в воздухе \( \alpha \). 2. Шест направлен вдоль линии зрения. Угол шеста к горизонту \( \varphi = 20^{\circ} \), значит угол преломленного луча с нормалью (вертикалью) в воздухе равен \( \alpha = 90^{\circ} - 20^{\circ} = 70^{\circ} \). 3. Найдем угол \( \beta \) в воде по закону Снеллиуса: \[ \frac{\sin \alpha}{\sin \beta} = n \implies \sin \beta = \frac{\sin 70^{\circ}}{1,33} \approx \frac{0,9397}{1,33} \approx 0,7065 \] \[ \beta = \arcsin(0,7065) \approx 45^{\circ} \] 4. Расстояние от вертикали, проходящей через точку входа шеста в воду, до камня (по дну) равно \( x_1 = h \cdot \text{tg} \beta \). 5. Шест же идет прямолинейно под углом \( \varphi \) к горизонту. Расстояние от той же вертикали до места, где шест воткнется в дно, равно \( x_2 = h \cdot \text{tg} \alpha_{шеста} \), где \( \alpha_{шеста} \) — угол шеста с вертикалью, равный \( 70^{\circ} \). 6. Искомое расстояние \( L = x_2 - x_1 \): \[ L = h (\text{tg} 70^{\circ} - \text{tg} 45^{\circ}) = 0,5 \cdot (2,747 - 1) = 0,5 \cdot 1,747 \approx 0,87 \text{ м} \] Ответ: \( L \approx 87 \text{ см} \).