Контрольная работа №2 по геометрии 9 класс: Вариант 2 - Решение

Контрольная работа № 2 по геометрии (9 класс) Вариант 2 Задача №1 Дано: \( |\vec{m}| = 3 \) \( |\vec{n}| = 4 \) \( \angle(\vec{m}, \vec{n}) = 135^\circ \) Найти: \( \vec{m} \cdot \vec{n} \) Решение: Скалярное произведение векторов вычисляется по формуле: \[ \vec{m} \cdot \vec{n} = |\vec{m}| \cdot |\vec{n}| \cdot \cos(\angle(\vec{m}, \vec{n})) \] Подставим значения: \[ \vec{m} \cdot \vec{n} = 3 \cdot 4 \cdot \cos(135^\circ) \] Так как \( \cos(135^\circ) = \cos(180^\circ - 45^\circ) = -\cos(45^\circ) = -\frac{\sqrt{2}}{2} \), получаем: \[ \vec{m} \cdot \vec{n} = 12 \cdot \left( -\frac{\sqrt{2}}{2} \right) = -6\sqrt{2} \] Ответ: \( -6\sqrt{2} \). Задача №2 Дано: \( \triangle BCD \) \( \angle B = 45^\circ \) \( \angle D = 60^\circ \) \( BC = \sqrt{3} \) см Найти: \( \angle C \), стороны \( CD \) и \( BD \). Решение: 1) Сумма углов треугольника равна \( 180^\circ \), поэтому: \[ \angle C = 180^\circ - (\angle B + \angle D) = 180^\circ - (45^\circ + 60^\circ) = 75^\circ \] 2) По теореме синусов: \[ \frac{BC}{\sin D} = \frac{CD}{\sin B} \] \[ \frac{\sqrt{3}}{\sin 60^\circ} = \frac{CD}{\sin 45^\circ} \] \[ CD = \frac{\sqrt{3} \cdot \sin 45^\circ}{\sin 60^\circ} = \frac{\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \sqrt{2} \text{ см} \] 3) Снова по теореме синусов найдем \( BD \): \[ \frac{BD}{\sin C} = \frac{BC}{\sin D} \] \[ BD = \frac{BC \cdot \sin 75^\circ}{\sin 60^\circ} \] Вычислим \( \sin 75^\circ = \sin(45^\circ + 30^\circ) = \sin 45^\circ \cos 30^\circ + \cos 45^\circ \sin 30^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \). \[ BD = \frac{\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{2} \text{ см} \] Ответ: \( \angle C = 75^\circ \), \( CD = \sqrt{2} \) см, \( BD = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{2} \) см. Задача №3 Дано: \( A(3; 9), B(0; 6), C(4; 2) \) Найти: \( \cos A \) Решение: Угол \( A \) — это угол между векторами \( \vec{AB} \) и \( \vec{AC} \). 1) Найдем координаты векторов: \[ \vec{AB} = (0 - 3; 6 - 9) = (-3; -3) \] \[ \vec{AC} = (4 - 3; 2 - 9) = (1; -7) \] 2) Найдем длины векторов: \[ |\vec{AB}| = \sqrt{(-3)^2 + (-3)^2} = \sqrt{9 + 9} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2} \] \[ |\vec{AC}| = \sqrt{1^2 + (-7)^2} = \sqrt{1 + 49} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2} \] 3) Найдем скалярное произведение векторов: \[ \vec{AB} \cdot \vec{AC} = (-3) \cdot 1 + (-3) \cdot (-7) = -3 + 21 = 18 \] 4) Вычислим косинус угла \( A \): \[ \cos A = \frac{\vec{AB} \cdot \vec{AC}}{|\vec{AB}| \cdot |\vec{AC}|} = \frac{18}{3\sqrt{2} \cdot 5\sqrt{2}} = \frac{18}{15 \cdot 2} = \frac{18}{30} = 0,6 \] Ответ: \( \cos A = 0,6 \).