Решение задачи №7 по геометрии: Найти MD и BC

Решение задачи №7 из учебника геометрии. Дано: \(MC \perp \alpha\), \(AC = 18\), \(\angle CAD = 30^\circ\), \(CD \perp AB\). Найти: \(x\) (отрезок \(MD\)), \(y\) (отрезок \(BC\)). Решение: 1. Рассмотрим прямоугольный треугольник \(ADC\) (так как \(CD \perp AB\)). По определению синуса в прямоугольном треугольнике: \[CD = AC \cdot \sin(30^\circ)\] \[CD = 18 \cdot \frac{1}{2} = 9\] 2. Так как \(MC \perp \alpha\), то \(MC\) перпендикулярна любой прямой в плоскости \(\alpha\), следовательно, \(MC \perp CD\) и \(MC \perp CB\). По теореме о трех перпендикулярах: так как \(MC \perp \alpha\) и проекция \(CD \perp AB\), то наклонная \(MD \perp AB\). На чертеже \(x\) — это гипотенуза в прямоугольном треугольнике \(MCD\). Однако, для нахождения \(x\) не хватает данных о высоте \(MC\). Если предположить, что треугольник \(ABC\) прямоугольный (\(\angle ACB = 90^\circ\)), то: В треугольнике \(ADC\): \[AD = AC \cdot \cos(30^\circ) = 18 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 9\sqrt{3}\] В прямоугольном треугольнике \(ABC\) отрезок \(CD\) является высотой, проведенной к гипотенузе. По свойству высоты: \[CD^2 = AD \cdot DB\] \[9^2 = 9\sqrt{3} \cdot DB \Rightarrow DB = \frac{81}{9\sqrt{3}} = \frac{9}{\sqrt{3}} = 3\sqrt{3}\] Тогда \(y\) (отрезок \(BC\)) по теореме Пифагора из \(\triangle CDB\): \[y = \sqrt{CD^2 + DB^2} = \sqrt{9^2 + (3\sqrt{3})^2} = \sqrt{81 + 27} = \sqrt{108} = 6\sqrt{3}\] 3. Если в задаче подразумевается, что \(MC = CD = 9\) (часто встречается в подобных задачах для упрощения), то в \(\triangle MCD\): \[x = \sqrt{MC^2 + CD^2} = \sqrt{9^2 + 9^2} = 9\sqrt{2}\] Ответ: \(x = 9\sqrt{2}\) (при условии \(MC=9\)), \(y = 6\sqrt{3}\). Решение задачи №9. Дано: \(MC \perp \alpha\), \(MC = 16\), \(AC = 20\), \(BC = 15\), \(CK \perp AB\). Найти: \(x\) (отрезок \(MK\)), \(y\) (отрезок \(CK\)). Решение: 1. Рассмотрим треугольник \(ABC\) в плоскости \(\alpha\). Судя по обозначению угла при вершине \(C\), он прямой (\(90^\circ\)). Найдем гипотенузу \(AB\) по теореме Пифагора: \[AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{20^2 + 15^2} = \sqrt{400 + 225} = \sqrt{625} = 25\] 2. Найдем высоту \(y\) (отрезок \(CK\)), проведенную к гипотенузе: \[y = \frac{AC \cdot BC}{AB} = \frac{20 \cdot 15}{25} = \frac{300}{25} = 12\] 3. Рассмотрим прямоугольный треугольник \(MCK\) (\(\angle MCK = 90^\circ\), так как \(MC \perp \alpha\)). По теореме Пифагора найдем \(x\) (отрезок \(MK\)): \[x = \sqrt{MC^2 + y^2} = \sqrt{16^2 + 12^2} = \sqrt{256 + 144} = \sqrt{400} = 20\] Ответ: \(x = 20\), \(y = 12\).