Решение задачи №10: Нахождение отрезков MK и CK

Решение задачи №10. Дано: \(MC \perp \alpha\), \(MC = 15\), \(AC = 17\), \(BC = 10\), \(AB = 21\), \(CK \perp AB\). Найти: \(x\) (отрезок \(MK\)), \(y\) (отрезок \(CK\)). Решение: 1. Рассмотрим треугольник \(ABC\) в плоскости \(\alpha\). Нам известны все его стороны: \(a = 10\), \(b = 17\), \(c = 21\). Для нахождения высоты \(y\) (отрезок \(CK\)) сначала найдем площадь треугольника по формуле Герона. Полупериметр \(p\): \[p = \frac{10 + 17 + 21}{2} = \frac{48}{2} = 24\] Площадь \(S\): \[S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} = \sqrt{24(24-10)(24-17)(24-21)} = \sqrt{24 \cdot 14 \cdot 7 \cdot 3}\] \[S = \sqrt{(3 \cdot 8) \cdot (2 \cdot 7) \cdot 7 \cdot 3} = \sqrt{3^2 \cdot 7^2 \cdot 16} = 3 \cdot 7 \cdot 4 = 84\] 2. С другой стороны, площадь треугольника равна: \[S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot CK \Rightarrow 84 = \frac{1}{2} \cdot 21 \cdot y\] \[y = \frac{84 \cdot 2}{21} = 4 \cdot 2 = 8\] 3. Так как \(MC \perp \alpha\), то треугольник \(MCK\) — прямоугольный (\(\angle MCK = 90^\circ\)). По теореме Пифагора найдем \(x\) (отрезок \(MK\)): \[x = \sqrt{MC^2 + y^2} = \sqrt{15^2 + 8^2} = \sqrt{225 + 64} = \sqrt{289} = 17\] Ответ: \(x = 17\), \(y = 8\). Решение задачи №11. Дано: \(MC \perp \alpha\), \(MC = 9\), \(AC = 12\), \(BC = 5\), \(\angle ACB = 90^\circ\). Найти: \(x\) (площадь \(\triangle AMB\)). Решение: 1. Рассмотрим прямоугольный треугольник \(ABC\). Найдем гипотенузу \(AB\): \[AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13\] 2. Проведем высоту \(CK\) в треугольнике \(ABC\) к стороне \(AB\). \[CK = \frac{AC \cdot BC}{AB} = \frac{12 \cdot 5}{13} = \frac{60}{13}\] 3. Так как \(MC \perp \alpha\), то по теореме о трех перпендикулярах \(MK \perp AB\). Отрезок \(MK\) является высотой треугольника \(AMB\). Найдем \(MK\) из прямоугольного треугольника \(MCK\): \[MK = \sqrt{MC^2 + CK^2} = \sqrt{9^2 + \left(\frac{60}{13}\right)^2} = \sqrt{81 + \frac{3600}{169}} = \sqrt{\frac{13689 + 3600}{169}} = \sqrt{\frac{17289}{169}} = \frac{\sqrt{17289}}{13}\] Заметим, что \(17289 = 117^2\). Тогда \(MK = \frac{117}{13} = 9\). Стоп, проверим расчет: \(81 \cdot 169 = 13689\). \(13689 + 3600 = 17289\). \(\sqrt{17289} \approx 131.48\). Пересчитаем: \(MK^2 = 81 + \frac{3600}{169} = \frac{13689 + 3600}{169} = \frac{17289}{169}\). Площадь \(x = S_{\triangle AMB} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot MK\): \[x = \frac{1}{2} \cdot 13 \cdot \frac{\sqrt{17289}}{13} = \frac{\sqrt{17289}}{2} \approx 65.74\] Если в условии \(\triangle ABC\) не прямоугольный, а \(CK\) уже дана, расчет был бы проще, но исходя из чертежа и прямого угла \(C\), ответ такой. Ответ: \(x = \frac{\sqrt{17289}}{2}\).