Решение задачи №12

Решение задачи №12. Дано: \(MC \perp \alpha\), \(MC = 8\), \(MO = 10\), \(ABCD\) — ромб (так как \(AB = AD\) и \(O\) — точка пересечения диагоналей, \(AC \perp DB\)), \(\angle ABC = 120^\circ\). Найти: \(x\) (отрезок \(MA\)), \(y\) (отрезок \(OC\)). Решение: 1. Рассмотрим прямоугольный треугольник \(MOC\) (так как \(MC \perp \alpha\), то \(MC \perp OC\)). По теореме Пифагора найдем \(y\) (отрезок \(OC\)): \[y = \sqrt{MO^2 - MC^2}\] \[y = \sqrt{10^2 - 8^2} = \sqrt{100 - 64} = \sqrt{36} = 6\] 2. Рассмотрим ромб \(ABCD\). Диагонали ромба являются биссектрисами его углов и в точке пересечения \(O\) делятся пополам. Так как \(\angle ABC = 120^\circ\), то \(\angle OBC = \frac{1}{2} \angle ABC = 60^\circ\). В прямоугольном треугольнике \(BOC\) (\(\angle BOC = 90^\circ\)): \[\angle BCO = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ\] Напротив угла в \(30^\circ\) лежит катет, равный половине гипотенузы, но нам удобнее использовать тангенс для нахождения \(BO\): \[BO = OC \cdot \tan(30^\circ) = 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}\] 3. В ромбе диагонали делятся пополам, значит \(AO = OC = y = 6\). Рассмотрим прямоугольный треугольник \(MOA\) (\(\angle MOA = 90^\circ\), так как \(MO\) — наклонная, а \(AO\) лежит в плоскости, но здесь важно, что \(MC \perp \alpha\), поэтому треугольник \(MCA\) прямоугольный). Найдем \(AC\): \[AC = AO + OC = 6 + 6 = 12\] Теперь из прямоугольного треугольника \(MCA\) (\(\angle MCA = 90^\circ\)) найдем \(x\) (отрезок \(MA\)): \[x = \sqrt{MC^2 + AC^2}\] \[x = \sqrt{8^2 + 12^2} = \sqrt{64 + 144} = \sqrt{208}\] \[x = \sqrt{16 \cdot 13} = 4\sqrt{13}\] Примечание: Если под \(x\) на чертеже подразумевается отрезок \(MA\), то расчет выше верен. Если же \(x\) — это отрезок \(MO\), то он уже дан и равен \(10\). Судя по расположению буквы, \(x\) — это \(MA\). Ответ: \(x = 4\sqrt{13}\), \(y = 6\).