Решение задач по геометрии - Вариант 2

Вариант 2 №1 Отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны, называется медианой. Ответ: А) Медиана. №2 Дано: Рисунок 1, \(AB = BC\), \(\angle ABD = \angle CBD\). Доказать: \(\triangle ABD = \triangle CBD\). Доказательство: Рассмотрим треугольники \(ABD\) и \(CBD\). 1) \(AB = BC\) (по условию); 2) \(\angle ABD = \angle CBD\) (по условию); 3) Сторона \(BD\) — общая. Следовательно, \(\triangle ABD = \triangle CBD\) по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними). Что и требовалось доказать. №3 Чтобы треугольник существовал, сумма любых двух его сторон должна быть больше третьей стороны. Проверим: \(8,5 + 7,3 = 15,8\). Так как \(15,8 < 15,9\), неравенство треугольника не выполняется. Ответ: Нет, такой треугольник не существует. №4 Дано: \(\triangle EFK\), \(\angle K = 90^{\circ}\), \(KN\) — медиана, \(\angle E = 55^{\circ}\). Найти: \(\angle FKN\). Решение: В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна её половине. Значит, \(KN = EN = NF\). Рассмотрим \(\triangle KNE\). Так как \(KN = EN\), треугольник равнобедренный. Следовательно, \(\angle NKE = \angle E = 55^{\circ}\). Так как \(\angle K = 90^{\circ}\), то \(\angle FKN = \angle K - \angle NKE = 90^{\circ} - 55^{\circ} = 35^{\circ}\). Ответ: \(35^{\circ}\). №5 Дано: \(\triangle FPN\), \(FP = PN\), \(PT \perp FN\), \(FT = 17\) см, \(FP = 34\) см. Найти: \(\angle FPN\), \(FN\). Решение: 1) В равнобедренном треугольнике высота \(PT\), проведенная к основанию, является медианой. Значит, \(FN = 2 \cdot FT = 2 \cdot 17 = 34\) см. 2) Заметим, что \(FP = 34\) см и \(FN = 34\) см. Так как \(FP = PN\), то \(FP = PN = FN = 34\) см. 3) Треугольник \(FPN\) является равносторонним. В равностороннем треугольнике все углы равны \(60^{\circ}\). Ответ: \(\angle FPN = 60^{\circ}\), \(FN = 34\) см. №6 Дано: Рисунок 3, \(AB = BC\), \(CE = DE\), \(\angle CDE = 47^{\circ}\). Найти: \(\angle BAC\). Решение: 1) Рассмотрим \(\triangle CDE\). Так как \(CE = DE\), треугольник равнобедренный. Углы при основании равны: \(\angle DCE = \angle CDE = 47^{\circ}\). 2) Углы \(\angle ACB\) и \(\angle DCE\) — вертикальные, значит \(\angle ACB = \angle DCE = 47^{\circ}\). 3) Рассмотрим \(\triangle ABC\). Так как \(AB = BC\), треугольник равнобедренный. Углы при основании равны: \(\angle BAC = \angle ACB = 47^{\circ}\). Ответ: \(47^{\circ}\).