Решение задачи №13: Правильный треугольник и перпендикуляр

Решение задачи №13. Дано: \(\triangle ABC\) — правильный (равносторонний), \(S_{\triangle ABC} = 48\sqrt{3}\), \(MO \perp (ABC)\). На чертеже отмечено, что точка \(O\) равноудалена от сторон треугольника (так как высоты боковых граней равны, что следует из равенства апофем, либо \(O\) — центр вписанной окружности). Боковая высота (апофема) равна \(17\). Найти: \(x\) (высота \(MO\)), \(y\) (радиус вписанной окружности \(r\)). Решение: 1. Найдем сторону правильного треугольника \(a\). Формула площади правильного треугольника: \[S = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}\] Подставим значение площади: \[48\sqrt{3} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}\] \[a^2 = 48 \cdot 4 = 192\] \[a = \sqrt{192} = \sqrt{64 \cdot 3} = 8\sqrt{3}\] 2. Найдем радиус вписанной окружности \(y\) (отрезок \(r\)) для правильного треугольника: \[y = \frac{a}{2\sqrt{3}}\] Подставим \(a\): \[y = \frac{8\sqrt{3}}{2\sqrt{3}} = 4\] 3. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды \(x\), апофемой (равной \(17\)) и радиусом вписанной окружности \(y\). По теореме Пифагора: \[x^2 + y^2 = 17^2\] \[x^2 + 4^2 = 289\] \[x^2 + 16 = 289\] \[x^2 = 289 - 16 = 273\] \[x = \sqrt{273}\] Ответ: \(x = \sqrt{273}\), \(y = 4\).