Решение задачи №14: правильный треугольник и пирамида

Решение задачи №14. Дано: \(\triangle ABC\) — правильный, \(MO \perp (ABC)\), \(MO = 24\), апофема (высота боковой грани) равна \(25\). Найти: \(y\) (радиус вписанной окружности \(r\)), \(x\) (площадь \(S_{\triangle ABC}\)). Решение: 1. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой \(MO\), апофемой и радиусом вписанной окружности \(y\). По теореме Пифагора: \[y = \sqrt{25^2 - 24^2} = \sqrt{625 - 576} = \sqrt{49} = 7\] 2. Для правильного треугольника радиус вписанной окружности связан со стороной \(a\) формулой: \[y = \frac{a}{2\sqrt{3}} \Rightarrow a = 2\sqrt{3} \cdot y\] \[a = 2\sqrt{3} \cdot 7 = 14\sqrt{3}\] 3. Найдем площадь правильного треугольника \(x\): \[x = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{(14\sqrt{3})^2 \cdot \sqrt{3}}{4} = \frac{196 \cdot 3 \cdot \sqrt{3}}{4} = 49 \cdot 3 \cdot \sqrt{3} = 147\sqrt{3}\] Ответ: \(x = 147\sqrt{3}\), \(y = 7\). Решение задачи №15. Дано: \(ABCD\) — трапеция, \(CF \perp \alpha\), \(CF = 9\), \(CD = 16\), \(AB = 40\), \(\angle FEB = 45^\circ\), \(FE \perp AB\). На чертеже отмечено \(AD = CB\) (трапеция равнобедренная). Найти: \(y\) (отрезок \(FE\)), \(x\) (площадь \(S_{ABCD}\)). Решение: 1. Рассмотрим прямоугольный треугольник \(CFE\) (\(\angle CFE = 90^\circ\), так как \(CF \perp \alpha\)). По теореме о трех перпендикулярах, так как \(FE \perp AB\), то и наклонная \(CE \perp AB\). Значит, \(CE\) — высота трапеции. В треугольнике \(CFE\) угол \(\angle CEF\) не задан напрямую, но указан \(\angle FEB = 45^\circ\). Однако, судя по чертежу и стандартным задачам, \(\angle CEF = 45^\circ\) (или треугольник \(CFE\) равнобедренный). Если \(\angle CEF = 45^\circ\): \[y = FE = \frac{CF}{\tan(45^\circ)} = \frac{9}{1} = 9\] Тогда высота трапеции \(h = CE\): \[h = \sqrt{CF^2 + FE^2} = \sqrt{9^2 + 9^2} = 9\sqrt{2}\] 2. Площадь трапеции \(x\): \[x = \frac{AB + CD}{2} \cdot h = \frac{40 + 16}{2} \cdot 9\sqrt{2} = \frac{56}{2} \cdot 9\sqrt{2} = 28 \cdot 9\sqrt{2} = 252\sqrt{2}\] Ответ: \(x = 252\sqrt{2}\), \(y = 9\).