Решение:

Решение задачи №15. Дано: \(ABCD\) — равнобедренная трапеция (\(AD = BC\)), \(CF \perp \alpha\), \(CF = 9\), \(CD = 16\), \(AB = 40\). \(FE \perp AB\), \(\angle FBE = 45^\circ\). Найти: \(y\) (отрезок \(FE\)), \(x\) (площадь \(S_{ABCD}\)). Решение: 1. Рассмотрим прямоугольный треугольник \(FEB\) (\(\angle FEB = 90^\circ\)). Так как \(\angle FBE = 45^\circ\), то треугольник \(FEB\) — равнобедренный, следовательно: \[y = FE = EB\] 2. Найдем отрезок \(EB\). В равнобедренной трапеции высота, опущенная из вершины тупого угла на большее основание, делит его на отрезки, один из которых равен полуразности оснований, а другой — полусумме. Отрезок \(EB\) является проекцией боковой стороны на основание \(AB\). По свойству равнобедренной трапеции: \[EB = \frac{AB - CD}{2} = \frac{40 - 16}{2} = \frac{24}{2} = 12\] Следовательно, \(y = 12\). 3. Теперь найдем высоту трапеции \(h = CE\). Рассмотрим прямоугольный треугольник \(CFE\) (\(\angle CFE = 90^\circ\), так как \(CF \perp \alpha\)). По теореме Пифагора: \[CE = \sqrt{CF^2 + FE^2} = \sqrt{9^2 + 12^2} = \sqrt{81 + 144} = \sqrt{225} = 15\] Таким образом, высота трапеции \(h = 15\). 4. Вычислим площадь трапеции \(x\): \[x = S_{ABCD} = \frac{AB + CD}{2} \cdot h\] \[x = \frac{40 + 16}{2} \cdot 15 = \frac{56}{2} \cdot 15 = 28 \cdot 15 = 420\] Ответ: \(x = 420\), \(y = 12\).