Решение задачи №14: Радиус вписанной окружности и площадь правильного треугольника

Задача №14 Дано: \( \triangle ABC \) — правильный, \( MO \perp (ABC) \), \( MO = 24 \), апофема (высота боковой грани) равна 25, \( S_{\triangle ABC} = x \). Найти: \( y \) (радиус вписанной окружности \( r \)) и \( x \). Решение: 1. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды \( MO \), апофемой и радиусом вписанной окружности \( r \) (на рисунке обозначен как \( y \)). По теореме Пифагора: \[ y^2 + 24^2 = 25^2 \] \[ y^2 = 625 - 576 \] \[ y^2 = 49 \] \[ y = 7 \] Таким образом, радиус вписанной окружности \( r = 7 \). 2. В правильном треугольнике радиус вписанной окружности связан со стороной \( a \) формулой: \[ r = \frac{a\sqrt{3}}{6} \] Отсюда выразим сторону \( a \): \[ a = \frac{6r}{\sqrt{3}} = 2r\sqrt{3} \] \[ a = 2 \cdot 7 \cdot \sqrt{3} = 14\sqrt{3} \] 3. Найдем площадь правильного треугольника \( ABC \): \[ S = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} \] \[ x = \frac{(14\sqrt{3})^2 \cdot \sqrt{3}}{4} \] \[ x = \frac{196 \cdot 3 \cdot \sqrt{3}}{4} \] \[ x = 49 \cdot 3 \cdot \sqrt{3} = 147\sqrt{3} \] Ответ: \( y = 7 \), \( x = 147\sqrt{3} \). --- Задача №15 Дано: \( ABCD \) — трапеция, \( CF \perp \alpha \), \( AB = 40 \), \( CD = 16 \), \( CF = 9 \), \( \angle FEB = 45^\circ \), \( FE \perp AB \), \( S_{ABCD} = x \). Найти: \( y \) (отрезок \( FE \)) и \( x \). Решение: 1. Рассмотрим прямоугольный треугольник \( CFE \) (так как \( CF \perp \alpha \), то \( CF \perp FE \)). По условию \( \angle CEF \) является линейным углом двугранного угла между плоскостью трапеции и плоскостью \( \alpha \). Однако из чертежа видно, что нам дан \( \angle FEB = 45^\circ \) в треугольнике \( FEB \). Если предположить, что \( \triangle CFE \) равнобедренный прямоугольный (что часто встречается в таких задачах при угле \( 45^\circ \)), то \( y = CF = 9 \). Проверим: в треугольнике \( CFE \), если \( \angle CEF = 45^\circ \), то: \[ y = \frac{CF}{\text{tg}(45^\circ)} = \frac{9}{1} = 9 \] 2. Отрезок \( CE \) является высотой трапеции \( ABCD \), так как \( CE \perp AB \) (по теореме о трех перпендикулярах, так как \( FE \perp AB \) и \( CF \perp \alpha \)). Найдем \( CE \) из треугольника \( CFE \): \[ CE = \sqrt{CF^2 + FE^2} = \sqrt{9^2 + 9^2} = 9\sqrt{2} \] 3. Найдем площадь трапеции \( x \): \[ S = \frac{AB + CD}{2} \cdot CE \] \[ x = \frac{40 + 16}{2} \cdot 9\sqrt{2} \] \[ x = \frac{56}{2} \cdot 9\sqrt{2} \] \[ x = 28 \cdot 9\sqrt{2} = 252\sqrt{2} \] Ответ: \( y = 9 \), \( x = 252\sqrt{2} \).