Часть 1
Задача 1
На рисунке изображён план двухкомнатной квартиры в многоэтажном жилом доме. Сторона одной клетки на плане соответствует 0,4 м. Условные обозначения двери и окна приведены в правой части рисунка. Вход в квартиру находится в прихожей. Слева от входа в квартиру находится санузел, а в противоположном конце коридора — дверь в кладовую. Рядом с кладовой находится спальня, из которой можно пройти на одну из застеклённых лоджий. Самая большая по площади комната — это гостиная, откуда можно попасть в коридор и на кухню. Из кухни также можно попасть на застеклённую лоджию. Для объектов, указанных в таблице, определите, какими цифрами они обозначены на плане. Заполните таблицу, в бланк перенесите последовательность четырёх цифр без пробелов, запятых и других дополнительных символов.| Объекты | коридор | кладовая | спальня | санузел |
| Цифры |
Решение:
Давайте внимательно рассмотрим план квартиры и соотнесём объекты с цифрами:
- Вход в квартиру находится в прихожей. Слева от входа в квартиру находится санузел. На плане это цифра 2.
- В противоположном конце коридора — дверь в кладовую. На плане это цифра 3.
- Рядом с кладовой находится спальня. На плане это цифра 4.
- Коридор — это область, соединяющая прихожую с другими комнатами. На плане это цифра 1.
| Объекты | коридор | кладовая | спальня | санузел |
| Цифры | 1 | 3 | 4 | 2 |
Ответ: 1342
Задача 2
Плитка для пола размером 20 см на 40 см продаётся в упаковках по 8 штук. Сколько упаковок плитки понадобилось, чтобы выложить пол на обеих лоджиях?Решение:
Сначала найдём площадь одной плитки:
\[S_{\text{плитки}} = 20 \text{ см} \times 40 \text{ см} = 800 \text{ см}^2\]Переведём в квадратные метры:
\[800 \text{ см}^2 = 0,08 \text{ м}^2\]Теперь найдём площадь обеих лоджий. На плане лоджии обозначены цифрами 5 и 6. Каждая лоджия имеет размеры 3 клетки на 4 клетки. Сторона одной клетки 0,4 м.
Размеры одной лоджии в метрах:
\[\text{Длина} = 4 \times 0,4 \text{ м} = 1,6 \text{ м}\] \[\text{Ширина} = 3 \times 0,4 \text{ м} = 1,2 \text{ м}\]Площадь одной лоджии:
\[S_{\text{лоджии}} = 1,6 \text{ м} \times 1,2 \text{ м} = 1,92 \text{ м}^2\]Площадь обеих лоджий:
\[S_{\text{общих лоджий}} = 2 \times 1,92 \text{ м}^2 = 3,84 \text{ м}^2\]Теперь найдём количество плиток, необходимых для обеих лоджий:
\[\text{Количество плиток} = \frac{S_{\text{общих лоджий}}}{S_{\text{плитки}}} = \frac{3,84 \text{ м}^2}{0,08 \text{ м}^2} = 48 \text{ плиток}\]В одной упаковке 8 плиток. Найдём количество упаковок:
\[\text{Количество упаковок} = \frac{48}{8} = 6 \text{ упаковок}\]Ответ: 6
Задача 3
Найдите площадь спальни. Ответ дайте в квадратных метрах.Решение:
Спальня обозначена на плане цифрой 4. Её размеры 5 клеток на 4 клетки. Сторона одной клетки 0,4 м.
Размеры спальни в метрах:
\[\text{Длина} = 5 \times 0,4 \text{ м} = 2,0 \text{ м}\] \[\text{Ширина} = 4 \times 0,4 \text{ м} = 1,6 \text{ м}\]Площадь спальни:
\[S_{\text{спальни}} = 2,0 \text{ м} \times 1,6 \text{ м} = 3,2 \text{ м}^2\]Ответ: 3,2
Задача 4
На сколько процентов площадь гостиной больше площади кладовой?Решение:
Гостиная обозначена на плане цифрой 7. Её размеры 6 клеток на 5 клеток. Сторона одной клетки 0,4 м.
Размеры гостиной в метрах:
\[\text{Длина} = 6 \times 0,4 \text{ м} = 2,4 \text{ м}\] \[\text{Ширина} = 5 \times 0,4 \text{ м} = 2,0 \text{ м}\]Площадь гостиной:
\[S_{\text{гостиной}} = 2,4 \text{ м} \times 2,0 \text{ м} = 4,8 \text{ м}^2\]Кладовая обозначена на плане цифрой 3. Её размеры 3 клетки на 2 клетки. Сторона одной клетки 0,4 м.
Размеры кладовой в метрах:
\[\text{Длина} = 3 \times 0,4 \text{ м} = 1,2 \text{ м}\] \[\text{Ширина} = 2 \times 0,4 \text{ м} = 0,8 \text{ м}\]Площадь кладовой:
\[S_{\text{кладовой}} = 1,2 \text{ м} \times 0,8 \text{ м} = 0,96 \text{ м}^2\]Чтобы узнать, на сколько процентов площадь гостиной больше площади кладовой, используем формулу:
\[\text{Процентное увеличение} = \frac{S_{\text{гостиной}} - S_{\text{кладовой}}}{S_{\text{кладовой}}} \times 100\%\] \[\text{Процентное увеличение} = \frac{4,8 - 0,96}{0,96} \times 100\% = \frac{3,84}{0,96} \times 100\% = 4 \times 100\% = 400\%\]Ответ: 400
Задача 5
В квартире планируется подключить интернет. Предполагается, что трафик составит 750 МБ в месяц. Выберите наиболее дешёвый вариант. Интернет-провайдер предлагает три тарифных плана.| Тарифный план | Абонентская плата | Плата за 1 МБ трафика сверх пакета |
| План «700» | 600 руб. за 700 МБ трафика в месяц | 2 руб. |
| План «1000» | 820 руб. за 1000 МБ трафика в месяц | 1,5 руб. |
| План «Безлимитный» | 900 руб. за неограниченное количество МБ трафика | 0 руб. |
Сколько рублей нужно будет заплатить за месяц, если трафик будет равен 750 МБ?
Решение:
Рассчитаем стоимость для каждого тарифного плана при трафике 750 МБ:
План «700»:
Абонентская плата: 600 руб. за 700 МБ.
Трафик сверх пакета: \(750 \text{ МБ} - 700 \text{ МБ} = 50 \text{ МБ}\).
Стоимость сверх пакета: \(50 \text{ МБ} \times 2 \text{ руб./МБ} = 100 \text{ руб.}\).
Общая стоимость: \(600 \text{ руб.} + 100 \text{ руб.} = 700 \text{ руб.}\).
План «1000»:
Абонентская плата: 820 руб. за 1000 МБ.
Трафик 750 МБ меньше 1000 МБ, поэтому дополнительной платы нет.
Общая стоимость: \(820 \text{ руб.}\).
План «Безлимитный»:
Абонентская плата: 900 руб. за неограниченное количество МБ.
Общая стоимость: \(900 \text{ руб.}\).
Сравним стоимости:
- План «700»: 700 руб.
- План «1000»: 820 руб.
- План «Безлимитный»: 900 руб.
Наиболее дешёвый вариант — План «700» со стоимостью 700 рублей.
Ответ: 700
Задача 6
Найдите значение выражения \(1 - \frac{1^2}{10}\).Решение:
\[1 - \frac{1^2}{10} = 1 - \frac{1}{10} = \frac{10}{10} - \frac{1}{10} = \frac{9}{10} = 0,9\]Ответ: 0,9
Задача 7
Между какими числами заключено число \(\sqrt{30}\)?Решение:
Нам нужно найти два последовательных целых числа, между которыми находится \(\sqrt{30}\).
Рассмотрим квадраты целых чисел:
\[1^2 = 1\] \[2^2 = 4\] \[3^2 = 9\] \[4^2 = 16\] \[5^2 = 25\] \[6^2 = 36\]Мы видим, что \(25 < 30 < 36\).
Следовательно, \(\sqrt{25} < \sqrt{30} < \sqrt{36}\).
То есть, \(5 < \sqrt{30} < 6\).
Таким образом, число \(\sqrt{30}\) заключено между числами 5 и 6.
Ответ: 2 (вариант 2)
Задача 8
Найдите значение выражения \(\frac{a^{10} \cdot a^{12}}{a^{19}}\) при \(a=2\).Решение:
Используем свойства степеней:
\[\frac{a^{10} \cdot a^{12}}{a^{19}} = \frac{a^{10+12}}{a^{19}} = \frac{a^{22}}{a^{19}} = a^{22-19} = a^3\]Теперь подставим \(a=2\):
\[a^3 = 2^3 = 2 \times 2 \times 2 = 8\]Ответ: 8
Задача 9
Решите уравнение \(4x^2 - 16x = 0\). Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите больший из корней.Решение:
У нас квадратное уравнение неполного вида:
\[4x^2 - 16x = 0\]Вынесем общий множитель \(4x\) за скобки:
\[4x(x - 4) = 0\]Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:
\[4x = 0 \quad \text{или} \quad x - 4 = 0\]Из первого уравнения получаем:
\[x_1 = 0\]Из второго уравнения получаем:
\[x_2 = 4\]Уравнение имеет два корня: 0 и 4. Больший из корней — это 4.
Ответ: 4
Задача 10
В каждой десятой банке кофе согласно условиям акции есть приз. Призы распределены по банкам случайно. Валя покупает банку кофе в надежде выиграть приз. Найдите вероятность того, что Валя не найдёт приз в своей банке.Решение:
Вероятность того, что Валя найдёт приз, равна отношению количества банок с призом к общему количеству банок. Поскольку приз есть в каждой десятой банке, это означает, что из 10 банок 1 банка содержит приз.
Вероятность найти приз: \(P(\text{приз}) = \frac{1}{10} = 0,1\).
Вероятность того, что Валя не найдёт приз, является дополнением к вероятности найти приз. Сумма вероятностей всех возможных исходов равна 1.
Вероятность не найти приз: \(P(\text{нет приза}) = 1 - P(\text{приз})\).
\[P(\text{нет приза}) = 1 - 0,1 = 0,9\]В процентах это будет \(0,9 \times 100\% = 90\%\).
Ответ: 0,9 или 90
Задача 11
Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.Графики:
А) Прямая, проходящая через начало координат, с отрицательным наклоном.
Б) Парабола, ветви которой направлены вниз, вершина в начале координат.
В) График функции квадратного корня, начинающийся в начале координат и идущий вправо вверх.
Формулы:
1) \(y = -\frac{1}{2}x\)
2) \(y = 2 - x^2\)
3) \(y = \sqrt{x}\)
Решение:
Рассмотрим каждую формулу:
1) \(y = -\frac{1}{2}x\): Это линейная функция вида \(y =