Решение контрольной работы: Показательные уравнения (1 вариант)

Контрольная работа по теме: Показательные уравнения. 1 вариант. 1. Решите уравнения: а) \( 5^x = 625 \) Представим 625 как степень с основанием 5: \( 5^x = 5^4 \) \( x = 4 \) Ответ: 4. б) \( 4^{x+1} = 64 \) Представим 64 как \( 4^3 \): \( 4^{x+1} = 4^3 \) \( x + 1 = 3 \) \( x = 2 \) Ответ: 2. в) \( 3^{2x-1} = 81 \) Представим 81 как \( 3^4 \): \( 3^{2x-1} = 3^4 \) \( 2x - 1 = 4 \) \( 2x = 5 \) \( x = 2,5 \) Ответ: 2,5. 2. Решите уравнения, сводящиеся к квадратным: а) \( 9^x - 10 \cdot 3^x + 9 = 0 \) Пусть \( 3^x = t \), где \( t > 0 \). Тогда \( 9^x = (3^2)^x = t^2 \). \( t^2 - 10t + 9 = 0 \) По теореме Виета: \( t_1 = 1, t_2 = 9 \). Обратная замена: 1) \( 3^x = 1 \Rightarrow 3^x = 3^0 \Rightarrow x = 0 \) 2) \( 3^x = 9 \Rightarrow 3^x = 3^2 \Rightarrow x = 2 \) Ответ: 0; 2. б) \( 25^x - 6 \cdot 5^x + 5 = 0 \) Пусть \( 5^x = t \), \( t > 0 \). \( t^2 - 6t + 5 = 0 \) Корни: \( t_1 = 1, t_2 = 5 \). Обратная замена: 1) \( 5^x = 1 \Rightarrow x = 0 \) 2) \( 5^x = 5 \Rightarrow x = 1 \) Ответ: 0; 1. в) \( 16^x - 5 \cdot 4^x + 4 = 0 \) Пусть \( 4^x = t \), \( t > 0 \). \( t^2 - 5t + 4 = 0 \) Корни: \( t_1 = 1, t_2 = 4 \). Обратная замена: 1) \( 4^x = 1 \Rightarrow x = 0 \) 2) \( 4^x = 4 \Rightarrow x = 1 \) Ответ: 0; 1. 3. Решите уравнение с вынесением общего множителя: а) \( 3^{x+2} - 3^x = 72 \) Вынесем \( 3^x \) за скобки: \( 3^x (3^2 - 1) = 72 \) \( 3^x (9 - 1) = 72 \) \( 3^x \cdot 8 = 72 \) \( 3^x = 9 \) \( x = 2 \) Ответ: 2. б) \( 5^{x+1} + 5^x = 30 \) \( 5^x (5^1 + 1) = 30 \) \( 5^x \cdot 6 = 30 \) \( 5^x = 5 \) \( x = 1 \) Ответ: 1. в) \( 4^x - 4^{x-1} = 12 \) \( 4^{x-1} (4^1 - 1) = 12 \) \( 4^{x-1} \cdot 3 = 12 \) \( 4^{x-1} = 4^1 \) \( x - 1 = 1 \) \( x = 2 \) Ответ: 2. 4. Решите уравнение: а) \( 2^{2x+1} + 7 \cdot 2^x - 4 = 0 \) Распишем \( 2^{2x+1} \) как \( 2 \cdot (2^x)^2 \). Пусть \( 2^x = t \), \( t > 0 \). \( 2t^2 + 7t - 4 = 0 \) \( D = 7^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-4) = 49 + 32 = 81 \) \( t_1 = \frac{-7 + 9}{4} = 0,5 \) \( t_2 = \frac{-7 - 9}{4} = -4 \) (не подходит, так как \( t > 0 \)) Обратная замена: \( 2^x = 0,5 \Rightarrow 2^x = 2^{-1} \Rightarrow x = -1 \) Ответ: -1. 5. Решите уравнение: а) \( 9^{x+1} + 3^{2x+4} = 30 \) Приведем к основанию 3: \( (3^2)^{x+1} + 3^{2x+4} = 30 \) \( 3^{2x+2} + 3^{2x+4} = 30 \) Вынесем \( 3^{2x+2} \): \( 3^{2x+2} (1 + 3^2) = 30 \) \( 3^{2x+2} (1 + 9) = 30 \) \( 3^{2x+2} \cdot 10 = 30 \) \( 3^{2x+2} = 3^1 \) \( 2x + 2 = 1 \) \( 2x = -1 \) \( x = -0,5 \) Ответ: -0,5.