Решение контрольной работы: Показательные уравнения, 2 вариант

Контрольная работа по теме: Показательные уравнения. 2 вариант. 1. Решите уравнения: а) \( 4^x = 256 \) Представим 256 как степень с основанием 4: \( 4^x = 4^4 \) \( x = 4 \) Ответ: 4. б) \( 2^{x+2} = 32 \) Представим 32 как \( 2^5 \): \( 2^{x+2} = 2^5 \) \( x + 2 = 5 \) \( x = 3 \) Ответ: 3. в) \( (\frac{1}{9})^x = 3 \) Приведем к основанию 3: \( (3^{-2})^x = 3^1 \) \( 3^{-2x} = 3^1 \) \( -2x = 1 \) \( x = -0,5 \) Ответ: -0,5. 2. Решите уравнения, сводящиеся к квадратным: а) \( 4^x - 6 \cdot 2^x + 8 = 0 \) Пусть \( 2^x = t \), где \( t > 0 \). Тогда \( 4^x = t^2 \). \( t^2 - 6t + 8 = 0 \) По теореме Виета: \( t_1 = 2, t_2 = 4 \). Обратная замена: 1) \( 2^x = 2 \Rightarrow x = 1 \) 2) \( 2^x = 4 \Rightarrow x = 2 \) Ответ: 1; 2. б) \( 4^x - 4^{x-1} = 12 \) (Примечание: это уравнение решается вынесением множителя, как в задании 3, но решим его здесь). \( 4^{x-1} (4^1 - 1) = 12 \) \( 4^{x-1} \cdot 3 = 12 \) \( 4^{x-1} = 4^1 \) \( x - 1 = 1 \Rightarrow x = 2 \) Ответ: 2. в) \( 9^x - 8 \cdot 3^x = 9 \) Перенесем всё в одну сторону: \( 9^x - 8 \cdot 3^x - 9 = 0 \). Пусть \( 3^x = t \), \( t > 0 \). \( t^2 - 8t - 9 = 0 \) Корни: \( t_1 = 9, t_2 = -1 \) (не подходит, так как \( t > 0 \)). Обратная замена: \( 3^x = 9 \Rightarrow x = 2 \) Ответ: 2. 3. Решите уравнение с вынесением общего множителя: а) \( 3^{x+1} + 3^x = 36 \) \( 3^x (3^1 + 1) = 36 \) \( 3^x \cdot 4 = 36 \) \( 3^x = 9 \Rightarrow x = 2 \) Ответ: 2. б) \( 7^x + 7^{x+1} = 56 \) \( 7^x (1 + 7^1) = 56 \) \( 7^x \cdot 8 = 56 \) \( 7^x = 7 \Rightarrow x = 1 \) Ответ: 1. в) \( 9^x - 9^{x-1} = 24 \) \( 9^{x-1} (9^1 - 1) = 24 \) \( 9^{x-1} \cdot 8 = 24 \) \( 9^{x-1} = 3 \) \( (3^2)^{x-1} = 3^1 \Rightarrow 3^{2x-2} = 3^1 \) \( 2x - 2 = 1 \Rightarrow 2x = 3 \Rightarrow x = 1,5 \) Ответ: 1,5. 4. Решите уравнение: \( 2^{3x+2} - 2^{3x-2} - 2^{3x-1} = 208 \) Вынесем наименьшую степень \( 2^{3x-2} \): \( 2^{3x-2} (2^4 - 1 - 2^1) = 208 \) \( 2^{3x-2} (16 - 1 - 2) = 208 \) \( 2^{3x-2} \cdot 13 = 208 \) \( 2^{3x-2} = 16 \) \( 2^{3x-2} = 2^4 \) \( 3x - 2 = 4 \Rightarrow 3x = 6 \Rightarrow x = 2 \) Ответ: 2. 5. Решите уравнение: а) \( 5^{2x+1} - 26 \cdot 5^x + 5 = 0 \) Распишем \( 5 \cdot (5^x)^2 - 26 \cdot 5^x + 5 = 0 \). Пусть \( 5^x = t \), \( t > 0 \). \( 5t^2 - 26t + 5 = 0 \) \( D = (-26)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 5 = 676 - 100 = 576 = 24^2 \) \( t_1 = \frac{26 + 24}{10} = 5 \) \( t_2 = \frac{26 - 24}{10} = 0,2 \) Обратная замена: 1) \( 5^x = 5 \Rightarrow x = 1 \) 2) \( 5^x = 0,2 \Rightarrow 5^x = 5^{-1} \Rightarrow x = -1 \) Ответ: -1; 1.