Решение:

Решим дифференциальное уравнение: \[y'' + 4y' + 4y = 6e^{-2x}\] Это линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Решение такого уравнения состоит из суммы общего решения однородного уравнения \(y_0\) и частного решения неоднородного уравнения \(y_ч\). То есть, \(y = y_0 + y_ч\). 1. Найдем общее решение однородного уравнения: \[y'' + 4y' + 4y = 0\] Составим характеристическое уравнение: \[\lambda^2 + 4\lambda + 4 = 0\] Это квадратное уравнение. Заметим, что это полный квадрат: \[(\lambda + 2)^2 = 0\] Отсюда получаем кратный корень: \[\lambda_1 = \lambda_2 = -2\] Так как корни действительные и кратные, общее решение однородного уравнения имеет вид: \[y_0 = (C_1 + C_2x)e^{-2x}\] где \(C_1\) и \(C_2\) - произвольные постоянные. 2. Найдем частное решение неоднородного уравнения. Правая часть уравнения имеет вид \(f(x) = 6e^{-2x}\). Поскольку корень характеристического уравнения \(\lambda = -2\) совпадает с показателем степени в правой части \(e^{-2x}\) и имеет кратность 2, то частное решение будем искать в виде: \[y_ч = Ax^2e^{-2x}\] Теперь найдем первую и вторую производные \(y_ч\): \[y_ч' = A(2xe^{-2x} + x^2(-2)e^{-2x}) = A(2x - 2x^2)e^{-2x}\] \[y_ч'' = A((2 - 4x)e^{-2x} + (2x - 2x^2)(-2)e^{-2x})\] \[y_ч'' = A(2 - 4x - 4x + 4x^2)e^{-2x}\] \[y_ч'' = A(4x^2 - 8x + 2)e^{-2x}\] Подставим \(y_ч\), \(y_ч'\) и \(y_ч''\) в исходное неоднородное уравнение: \[A(4x^2 - 8x + 2)e^{-2x} + 4A(2x - 2x^2)e^{-2x} + 4A x^2e^{-2x} = 6e^{-2x}\] Разделим обе части на \(e^{-2x}\) (поскольку \(e^{-2x} \neq 0\)): \[A(4x^2 - 8x + 2) + 4A(2x - 2x^2) + 4A x^2 = 6\] Раскроем скобки: \[4Ax^2 - 8Ax + 2A + 8Ax - 8Ax^2 + 4Ax^2 = 6\] Приведем подобные члены: \[(4A - 8A + 4A)x^2 + (-8A + 8A)x + 2A = 6\] \[0x^2 + 0x + 2A = 6\] \[2A = 6\] \[A = 3\] Таким образом, частное решение: \[y_ч = 3x^2e^{-2x}\] 3. Запишем общее решение неоднородного уравнения: \[y = y_0 + y_ч\] \[y = (C_1 + C_2x)e^{-2x} + 3x^2e^{-2x}\] Можно вынести \(e^{-2x}\) за скобки: \[y = (C_1 + C_2x + 3x^2)e^{-2x}\] Ответ: Общее решение дифференциального уравнения: \[y = (C_1 + C_2x + 3x^2)e^{-2x}\]