4. Найдите \( \sin x \), если \( \cos x = 0,8 \) и \( x \in \left( \frac{3\pi}{2}; 2\pi \right) \).
Решение:
Используем основное тригонометрическое тождество: \( \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \).
Подставим известное значение \( \cos x \):
\( \sin^2 x + (0,8)^2 = 1 \)
\( \sin^2 x + 0,64 = 1 \)
\( \sin^2 x = 1 - 0,64 \)
\( \sin^2 x = 0,36 \)
Извлекаем квадратный корень:
\( \sin x = \pm \sqrt{0,36} \)
\( \sin x = \pm 0,6 \)
Теперь учтем интервал, в котором находится \( x \). Интервал \( \left( \frac{3\pi}{2}; 2\pi \right) \) соответствует четвертой четверти единичной окружности. В четвертой четверти синус отрицателен.
Следовательно, \( \sin x = -0,6 \).
Ответ: \( \sin x = -0,6 \).
5. Упростите: \( \sin^2 x + \cos^2 x + \operatorname{tg}^2 x \).
Решение:
Мы знаем основное тригонометрическое тождество: \( \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \).
Подставим это в выражение:
\( (\sin^2 x + \cos^2 x) + \operatorname{tg}^2 x = 1 + \operatorname{tg}^2 x \)
Также существует тождество: \( 1 + \operatorname{tg}^2 x = \frac{1}{\cos^2 x} \).
Таким образом, выражение можно упростить до \( \frac{1}{\cos^2 x} \).
Ответ: \( 1 + \operatorname{tg}^2 x \) или \( \frac{1}{\cos^2 x} \).
6. Найдите \( \cos \beta \), если \( \sin \beta = -0,6 \) и \( \beta \in \left( \pi; \frac{3\pi}{2} \right) \).
Решение:
Используем основное тригонометрическое тождество: \( \sin^2 \beta + \cos^2 \beta = 1 \).
Подставим известное значение \( \sin \beta \):
\( (-0,6)^2 + \cos^2 \beta = 1 \)
\( 0,36 + \cos^2 \beta = 1 \)
\( \cos^2 \beta = 1 - 0,36 \)
\( \cos^2 \beta = 0,64 \)
Извлекаем квадратный корень:
\( \cos \beta = \pm \sqrt{0,64} \)
\( \cos \beta = \pm 0,8 \)
Теперь учтем интервал, в котором находится \( \beta \). Интервал \( \left( \pi; \frac{3\pi}{2} \right) \) соответствует третьей четверти единичной окружности. В третьей четверти косинус отрицателен.
Следовательно, \( \cos \beta = -0,8 \).
Ответ: \( \cos \beta = -0,8 \).
7. Найдите \( \operatorname{ctg}^2 \alpha \), если \( 4 \sin^2 \alpha - 3 \cos^2 \alpha = 1 \).
Решение:
Нам нужно найти \( \operatorname{ctg}^2 \alpha \). Мы знаем, что \( \operatorname{ctg} \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} \), поэтому \( \operatorname{ctg}^2 \alpha = \frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} \).
Используем основное тригонометрическое тождество: \( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \).
Из этого тождества выразим \( \sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha \).
Подставим это в данное уравнение:
\( 4 (1 - \cos^2 \alpha) - 3 \cos^2 \alpha = 1 \)
Раскроем скобки:
\( 4 - 4 \cos^2 \alpha - 3 \cos^2 \alpha = 1 \)
Сгруппируем члены с \( \cos^2 \alpha \):
\( 4 - 7 \cos^2 \alpha = 1 \)
Перенесем константы в одну сторону, а члены с \( \cos^2 \alpha \) в другую:
\( 4 - 1 = 7 \cos^2 \alpha \)
\( 3 = 7 \cos^2 \alpha \)
Найдем \( \cos^2 \alpha \):
\( \cos^2 \alpha = \frac{3}{7} \)
Теперь найдем \( \sin^2 \alpha \) с помощью основного тригонометрического тождества:
\( \sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha = 1 - \frac{3}{7} = \frac{7}{7} - \frac{3}{7} = \frac{4}{7} \)
Теперь мы можем найти \( \operatorname{ctg}^2 \alpha \):
\( \operatorname{ctg}^2 \alpha = \frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} = \frac{\frac{3}{7}}{\frac{4}{7}} \)
\( \operatorname{ctg}^2 \alpha = \frac{3}{7} \cdot \frac{7}{4} = \frac{3}{4} \)
Ответ: \( \operatorname{ctg}^2 \alpha = \frac{3}{4} \).