Решение задачи: Нахождение экстремума функции двух переменных

Дана функция двух переменных: \[z = x^3 + 8y^2 - 6xy + 1\] Для нахождения экстремумов функции двух переменных необходимо выполнить следующие шаги: 1. Найти частные производные первого порядка по \(x\) и по \(y\). 2. Приравнять частные производные к нулю и решить полученную систему уравнений, чтобы найти стационарные точки (потенциальные точки экстремума). 3. Найти частные производные второго порядка. 4. Вычислить определитель Гессе (или дискриминант) в каждой стационарной точке и использовать критерий Сильвестра для определения типа экстремума. Приступим к решению. 1. Найдем частные производные первого порядка: \[\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(x^3 + 8y^2 - 6xy + 1) = 3x^2 - 6y\] \[\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(x^3 + 8y^2 - 6xy + 1) = 16y - 6x\] 2. Приравняем частные производные к нулю и решим систему уравнений: \[\begin{cases} 3x^2 - 6y = 0 \\ 16y - 6x = 0 \end{cases}\] Из первого уравнения выразим \(y\): \[6y = 3x^2 \Rightarrow y = \frac{3x^2}{6} \Rightarrow y = \frac{1}{2}x^2\] Подставим это выражение для \(y\) во второе уравнение: \[16\left(\frac{1}{2}x^2\right) - 6x = 0\] \[8x^2 - 6x = 0\] Вынесем \(2x\) за скобки: \[2x(4x - 3) = 0\] Отсюда получаем два возможных значения для \(x\): \[2x = 0 \Rightarrow x_1 = 0\] \[4x - 3 = 0 \Rightarrow 4x = 3 \Rightarrow x_2 = \frac{3}{4}\] Теперь найдем соответствующие значения \(y\): Для \(x_1 = 0\): \[y_1 = \frac{1}{2}(0)^2 = 0\] Получаем стационарную точку \(M_1(0, 0)\). Для \(x_2 = \frac{3}{4}\): \[y_2 = \frac{1}{2}\left(\frac{3}{4}\right)^2 = \frac{1}{2} \cdot \frac{9}{16} = \frac{9}{32}\] Получаем стационарную точку \(M_2\left(\frac{3}{4}, \frac{9}{32}\right)\). 3. Найдем частные производные второго порядка: \[\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = \frac{\partial}{\partial x}(3x^2 - 6y) = 6x\] \[\frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = \frac{\partial}{\partial y}(16y - 6x) = 16\] \[\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(3x^2 - 6y) = -6\] (Также \(\frac{\partial^2 z}{\partial y \partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(16y - 6x) = -6\), что подтверждает равенство смешанных производных). 4. Вычислим определитель Гессе \(D\) (или дискриминант) по формуле: \[D = \frac{\partial^2 z}{\partial x^2} \cdot \frac{\partial^2 z}{\partial y^2} - \left(\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}\right)^2\] \[D = (6x)(16) - (-6)^2 = 96x - 36\] Исследуем каждую стационарную точку: Для точки \(M_1(0, 0)\): \[D(0, 0) = 96(0) - 36 = -36\] Так как \(D(0, 0) < 0\), в точке \(M_1(0, 0)\) нет экстремума, это седловая точка. Для точки \(M_2\left(\frac{3}{4}, \frac{9}{32}\right)\): \[D\left(\frac{3}{4}, \frac{9}{32}\right) = 96\left(\frac{3}{4}\right) - 36\] \[D\left(\frac{3}{4}, \frac{9}{32}\right) = \frac{96 \cdot 3}{4} - 36 = 24 \cdot 3 - 36 = 72 - 36 = 36\] Так как \(D\left(\frac{3}{4}, \frac{9}{32}\right) > 0\), в этой точке есть экстремум. Теперь определим тип экстремума, посмотрев на \(\frac{\partial^2 z}{\partial x^2}\) в этой точке: \[\frac{\partial^2 z}{\partial x^2}\left(\frac{3}{4}, \frac{9}{32}\right) = 6x = 6\left(\frac{3}{4}\right) = \frac{18}{4} = \frac{9}{2}\] Так как \(\frac{\partial^2 z}{\partial x^2}\left(\frac{3}{4}, \frac{9}{32}\right) = \frac{9}{2} > 0\), в точке \(M_2\left(\frac{3}{4}, \frac{9}{32}\right)\) функция имеет локальный минимум. Найдем значение функции в этой точке: \[z\left(\frac{3}{4}, \frac{9}{32}\right) = \left(\frac{3}{4}\right)^3 + 8\left(\frac{9}{32}\right)^2 - 6\left(\frac{3}{4}\right)\left(\frac{9}{32}\right) + 1\] \[z\left(\frac{3}{4}, \frac{9}{32}\right) = \frac{27}{64} + 8\left(\frac{81}{1024}\right) - \frac{162}{128} + 1\] \[z\left(\frac{3}{4}, \frac{9}{32}\right) = \frac{27}{64} + \frac{81}{128} - \frac{81}{64} + 1\] Приведем к общему знаменателю 128: \[z\left(\frac{3}{4}, \frac{9}{32}\right) = \frac{27 \cdot 2}{128} + \frac{81}{128} - \frac{81 \cdot 2}{128} + \frac{128}{128}\] \[z\left(\frac{3}{4}, \frac{9}{32}\right) = \frac{54 + 81 - 162 + 128}{128}\] \[z\left(\frac{3}{4}, \frac{9}{32}\right) = \frac{263 - 162}{128} = \frac{101}{128}\] Итак, функция имеет локальный минимум в точке \(\left(\frac{3}{4}, \frac{9}{32}\right)\), равный \(\frac{101}{128}\). В точке \((0, 0)\) функция имеет седловую точку. Ответ: Функция \(z = x^3 + 8y^2 - 6xy + 1\) имеет: 1. Седловую точку в \((0, 0)\). 2. Локальный минимум в точке \(\left(\frac{3}{4}, \frac{9}{32}\right)\), значение которого равно \(\frac{101}{128}\).