Решение задачи на цепи постоянного тока

Задача на цепи постоянного тока. Дано: \(E_1 = 10\) В \(E_2 = 40\) В \(R_1 = 50\) Ом \(R_2 = 20\) Ом \(R_3 = 5\) Ом \(R_4 = 15\) Ом Найти: \(I_1, I_2, I_3\) Решение: Для решения задачи воспользуемся законами Кирхгофа. Согласно схеме, у нас есть три ветви с токами \(I_1\), \(I_2\) и \(I_3\). Заметим, что резисторы \(R_2\) и \(R_3\) соединены последовательно в одной ветви, их общее сопротивление: \[R_{23} = R_2 + R_3 = 20 + 5 = 25 \text{ Ом}\] 1. Составим уравнение по первому закону Кирхгофа для верхнего узла. Сумма втекающих токов равна сумме вытекающих: \[I_1 + I_2 = I_3\] 2. Составим уравнения по второму закону Кирхгофа для двух контуров. Направление обхода выберем по часовой стрелке. Для левого контура (с \(E_1\), \(R_1\), \(R_2\), \(R_3\)): \[I_1 \cdot R_1 + I_3 \cdot (R_2 + R_3) = E_1\] \[50 \cdot I_1 + 25 \cdot I_3 = 10\] Разделим на 5 для упрощения: \[10 \cdot I_1 + 5 \cdot I_3 = 2\] (Уравнение А) Для правого контура (с \(E_2\), \(R_4\), \(R_2\), \(R_3\)): Учитывая направление тока \(I_2\) навстречу обходу и направление \(E_2\) вверх: \[I_2 \cdot R_4 + I_3 \cdot (R_2 + R_3) = E_2\] \[15 \cdot I_2 + 25 \cdot I_3 = 40\] Разделим на 5: \[3 \cdot I_2 + 5 \cdot I_3 = 8\] (Уравнение Б) 3. Решим систему уравнений. Выразим \(I_1\) и \(I_2\) через \(I_3\) из уравнений А и Б: \[10 \cdot I_1 = 2 - 5 \cdot I_3 \Rightarrow I_1 = 0,2 - 0,5 \cdot I_3\] \[3 \cdot I_2 = 8 - 5 \cdot I_3 \Rightarrow I_2 = \frac{8}{3} - \frac{5}{3} \cdot I_3\] Подставим эти выражения в первый закон Кирхгофа (\(I_1 + I_2 = I_3\)): \[(0,2 - 0,5 \cdot I_3) + (\frac{8}{3} - \frac{5}{3} \cdot I_3) = I_3\] Приведем к общему знаменателю или переведем в десятичные дроби (приблизительно): \[0,2 + 2,667 = I_3 + 0,5 \cdot I_3 + 1,667 \cdot I_3\] \[2,867 = 3,167 \cdot I_3\] \[I_3 = \frac{2,867}{3,167} \approx 0,905 \text{ А}\] Для более точного расчета в дробях: \[\frac{1}{5} - \frac{1}{2} I_3 + \frac{8}{3} - \frac{5}{3} I_3 = I_3\] \[\frac{3 + 40}{15} = I_3 + \frac{1}{2} I_3 + \frac{5}{3} I_3\] \[\frac{43}{15} = \frac{6 + 3 + 10}{6} I_3\] \[\frac{43}{15} = \frac{19}{6} I_3\] \[I_3 = \frac{43 \cdot 6}{15 \cdot 19} = \frac{43 \cdot 2}{5 \cdot 19} = \frac{86}{95} \approx 0,905 \text{ А}\] Теперь найдем остальные токи: \[I_1 = 0,2 - 0,5 \cdot 0,905 = 0,2 - 0,4525 = -0,2525 \text{ А}\] (Знак минус означает, что реальное направление тока \(I_1\) противоположно указанному на схеме). \[I_2 = I_3 - I_1 = 0,905 - (-0,2525) = 1,1575 \text{ А}\] Ответ: \(I_1 \approx -0,253\) А \(I_2 \approx 1,158\) А \(I_3 \approx 0,905\) А