Решение задачи: Расчет ступенчатого стержня на прочность и жесткость

Задача: Расчет на прочность и жесткость ступенчатого стержня при центральном растяжении-сжатии. Дано: Модуль упругости стали: \(E = 2 \cdot 10^5\) МПа = \(2 \cdot 10^{11}\) Па. Допускаемое напряжение: \([\sigma] = 160\) МПа = \(160 \cdot 10^6\) Па. Допускаемое перемещение: \(\Delta l_{adm} = 1\) мм. Силы: \(F_1 = 150\) кН, \(F_2 = 130\) кН, \(F_3 = 110\) кН. Длины участков: \(l_1 = 0,2\) м, \(l_2 = 0,3\) м, \(l_3 = 0,4\) м (длину \(l_3\) принимаем исходя из логики прогрессии, так как на фото край обрезан). Решение: 1. Построение эпюры продольных сил \(N\). Используем метод сечений. Идем справа налево (от свободного конца). Участок 1 (\(0 \le x_1 < l_1\)): \[N_1 = F_1 = 150 \text{ кН (растяжение)}\] Участок 2 (\(0 \le x_2 < l_2\)): \[N_2 = F_1 + F_2 = 150 + 130 = 280 \text{ кН (растяжение)}\] Участок 3 (\(0 \le x_3 < l_3\)): \[N_3 = F_1 + F_2 - F_3 = 280 - 110 = 170 \text{ кН (растяжение)}\] Максимальная продольная сила \(N_{max} = 280\) кН. 2. Определение размеров поперечного сечения из условия прочности. Условие прочности: \(\sigma = \frac{N_{max}}{A} \le [\sigma]\). Отсюда требуемая площадь сечения: \[A \ge \frac{N_{max}}{[\sigma]} = \frac{280 \cdot 10^3}{160 \cdot 10^6} = 1,75 \cdot 10^{-3} \text{ м}^2 = 17,5 \text{ см}^2\] Для прямоугольного сечения (\(h/b = 2\)): \[A = b \cdot h = b \cdot 2b = 2b^2\] \[2b^2 = 17,5 \implies b = \sqrt{\frac{17,5}{2}} \approx 2,96 \text{ см}\] Принимаем стандартные размеры: \(b = 30\) мм, \(h = 60\) мм. Площадь \(A_{rect} = 3 \cdot 6 = 18 \text{ см}^2 = 18 \cdot 10^{-4} \text{ м}^2\). Для круглого сечения: \[A = \frac{\pi d^2}{4} \implies d = \sqrt{\frac{4A}{\pi}} = \sqrt{\frac{4 \cdot 17,5}{3,14}} \approx 4,72 \text{ см}\] Принимаем \(d = 48\) мм. Площадь \(A_{round} = \frac{3,14 \cdot 4,8^2}{4} \approx 18,09 \text{ см}^2 = 18,09 \cdot 10^{-4} \text{ м}^2\). 3. Построение эпюры нормальных напряжений \(\sigma\). Используем принятую площадь \(A = 18 \cdot 10^{-4} \text{ м}^2\). \[\sigma_1 = \frac{N_1}{A} = \frac{150 \cdot 10^3}{18 \cdot 10^{-4}} \approx 83,3 \text{ МПа}\] \[\sigma_2 = \frac{N_2}{A} = \frac{280 \cdot 10^3}{18 \cdot 10^{-4}} \approx 155,6 \text{ МПа}\] \[\sigma_3 = \frac{N_3}{A} = \frac{170 \cdot 10^3}{18 \cdot 10^{-4}} \approx 94,4 \text{ МПа}\] Все напряжения меньше \([\sigma] = 160\) МПа, условие прочности выполняется. 4. Определение перемещений и проверка жесткости. Перемещение свободного конца (сумма удлинений участков): \[\Delta l = \sum \frac{N_i l_i}{E A} = \frac{1}{E A} (N_1 l_1 + N_2 l_2 + N_3 l_3)\] \[\Delta l = \frac{1}{2 \cdot 10^{11} \cdot 18 \cdot 10^{-4}} (150 \cdot 10^3 \cdot 0,2 + 280 \cdot 10^3 \cdot 0,3 + 170 \cdot 10^3 \cdot 0,4)\] \[\Delta l = \frac{1}{3,6 \cdot 10^8} (30000 + 84000 + 68000) = \frac{182000}{3,6 \cdot 10^8} \approx 0,000505 \text{ м} \approx 0,51 \text{ мм}\] Проверка жесткости: \[\Delta l = 0,51 \text{ мм} \le \Delta l_{adm} = 1 \text{ мм}\] Условие жесткости выполняется. Ответ: Размеры прямоугольного сечения \(b=30\) мм, \(h=60\) мм; диаметр круглого сечения \(d=48\) мм. Условия прочности и жесткости соблюдены.