Решение задачи методом узловых потенциалов

Для решения данной задачи воспользуемся методом узловых потенциалов, так как в схеме всего два узла. Это позволит найти токи быстрее и точнее. Дано: \(E_1 = 10\) В \(E_2 = 40\) В \(R_1 = 50\) Ом \(R_2 = 20\) Ом \(R_3 = 5\) Ом \(R_4 = 15\) Ом Найти: \(I_1, I_2, I_3\) Решение: 1. Обозначим нижний узел как базисный с потенциалом \(\phi_0 = 0\) В. Потенциал верхнего узла обозначим \(\phi_1\). 2. Составим уравнение по методу узловых потенциалов для верхнего узла. Сумма токов, выходящих из узла, равна нулю. Заметим, что в средней ветви резисторы \(R_2\) и \(R_3\) соединены последовательно, их общее сопротивление \(R_{23} = R_2 + R_3 = 20 + 5 = 25\) Ом. Уравнение для узла: \[\frac{\phi_1 - E_1}{R_1} + \frac{\phi_1}{R_{23}} + \frac{\phi_1 - E_2}{R_4} = 0\] 3. Подставим числовые значения: \[\frac{\phi_1 - 10}{50} + \frac{\phi_1}{25} + \frac{\phi_1 - 40}{15} = 0\] Приведем к общему знаменателю 150: \[\frac{3(\phi_1 - 10) + 6\phi_1 + 10(\phi_1 - 40)}{150} = 0\] \[3\phi_1 - 30 + 6\phi_1 + 10\phi_1 - 400 = 0\] \[19\phi_1 = 430\] \[\phi_1 = \frac{430}{19} \approx 22,63 \text{ В}\] 4. Рассчитаем токи в ветвях. Направления токов возьмем согласно схеме (от узла или к узлу): Ток \(I_1\) (направлен к узлу): \[I_1 = \frac{E_1 - \phi_1}{R_1} = \frac{10 - 22,63}{50} = \frac{-12,63}{50} \approx -0,253 \text{ А}\] (Знак минус означает, что ток течет в обратную сторону от указанной на схеме стрелки). Ток \(I_2\) (направлен к узлу): \[I_2 = \frac{E_2 - \phi_1}{R_4} = \frac{40 - 22,63}{15} = \frac{17,37}{15} \approx 1,158 \text{ А}\] Ток \(I_3\) (направлен от узла вниз): \[I_3 = \frac{\phi_1}{R_{23}} = \frac{22,63}{25} \approx 0,905 \text{ А}\] 5. Проверка по первому закону Кирхгофа: \[I_1 + I_2 = I_3\] \[-0,253 + 1,158 = 0,905\] \[0,905 = 0,905\] Баланс соблюден. Ответ: \(I_1 \approx -0,253\) А \(I_2 \approx 1,158\) А \(I_3 \approx 0,905\) А