Решение примера №4: Упрощение алгебраического выражения

Решение примера №4 из задания: \[ \frac{5y^2 - 20y + 20}{y^3 - 1} \cdot \frac{3y^2 + 3y + 3}{10y - 20} \] Для решения выполним разложение числителей и знаменателей на множители: 1. В числителе первой дроби вынесем общий множитель 5 и воспользуемся формулой квадрата разности \( (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \): \[ 5y^2 - 20y + 20 = 5(y^2 - 4y + 4) = 5(y - 2)^2 \] 2. В знаменателе первой дроби воспользуемся формулой разности кубов \( a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2) \): \[ y^3 - 1 = (y - 1)(y^2 + y + 1) \] 3. В числителе второй дроби вынесем общий множитель 3: \[ 3y^2 + 3y + 3 = 3(y^2 + y + 1) \] 4. В знаменателе второй дроби вынесем общий множитель 10: \[ 10y - 20 = 10(y - 2) \] Теперь подставим полученные выражения в исходный пример: \[ \frac{5(y - 2)^2}{(y - 1)(y^2 + y + 1)} \cdot \frac{3(y^2 + y + 1)}{10(y - 2)} \] Произведем сокращение дробей: - Сократим \( (y^2 + y + 1) \) в числителе и знаменателе. - Сократим \( (y - 2) \) в знаменателе и квадрат у \( (y - 2)^2 \) в числителе. - Сократим числа 5 и 10 на 5 (в числителе останется 1, в знаменателе 2). Получаем: \[ \frac{1 \cdot (y - 2) \cdot 3}{(y - 1) \cdot 2} = \frac{3(y - 2)}{2(y - 1)} \] Раскроем скобки для окончательного вида: \[ \frac{3y - 6}{2y - 2} \] Ответ: \( \frac{3y - 6}{2y - 2} \)