Решение задачи 1 по теории вероятностей (Вариант 5)

Вариант 5 Задача 1. Дано: Пусть \( A_1, A_2, A_3 \) — события, заключающиеся в том, что формула содержится в первом, втором и третьем справочниках соответственно. По условию вероятности этих событий равны: \[ p_1 = P(A_1) = 0,6 \] \[ p_2 = P(A_2) = 0,7 \] \[ p_3 = P(A_3) = 0,8 \] Тогда вероятности противоположных событий (формулы нет в справочнике) равны: \[ q_1 = P(\overline{A_1}) = 1 - 0,6 = 0,4 \] \[ q_2 = P(\overline{A_2}) = 1 - 0,7 = 0,3 \] \[ q_3 = P(\overline{A_3}) = 1 - 0,8 = 0,2 \] а) Найти вероятность того, что формула содержится только в одном справочнике. Это событие произойдет, если формула есть в первом, но нет во втором и третьем, ИЛИ есть во втором, но нет в первом и третьем, ИЛИ есть в третьем, но нет в первом и втором. \[ P(B) = p_1 \cdot q_2 \cdot q_3 + q_1 \cdot p_2 \cdot q_3 + q_1 \cdot q_2 \cdot p_3 \] Подставим значения: \[ P(B) = 0,6 \cdot 0,3 \cdot 0,2 + 0,4 \cdot 0,7 \cdot 0,2 + 0,4 \cdot 0,3 \cdot 0,8 \] \[ P(B) = 0,036 + 0,056 + 0,096 = 0,188 \] б) Найти вероятность того, что формула содержится хотя бы в одном справочнике. Проще всего найти вероятность противоположного события — формулы нет ни в одном из трех справочников, и вычесть её из единицы. Вероятность того, что формулы нет нигде: \[ P(\overline{C}) = q_1 \cdot q_2 \cdot q_3 = 0,4 \cdot 0,3 \cdot 0,2 = 0,024 \] Тогда искомая вероятность: \[ P(C) = 1 - P(\overline{C}) = 1 - 0,024 = 0,976 \] Ответ: а) 0,188; б) 0,976.