Задача 6. Пластилиновый шарик сталкивается с таким же шариком, движущимся навстречу ему с такой же скоростью (рис. 95). Чему равна скорость шариков после столкновения? Чему равно изменение кинетической энергии шариков в результате их столкновения?
Дано:
\(m_1 = 20 \text{ г} = 0,02 \text{ кг}\)
\(v_1 = 2 \text{ м/с}\)
\(m_2 = 20 \text{ г} = 0,02 \text{ кг}\)
\(v_2 = 2 \text{ м/с}\)
Найти:
\(v'\) — скорость шариков после столкновения
\(\Delta E_k\) — изменение кинетической энергии
Решение:
1. Определим тип столкновения. Поскольку шарики пластилиновые и после столкновения они, скорее всего, слипнутся и будут двигаться как единое целое, это абсолютно неупругое столкновение.
2. Применим закон сохранения импульса для абсолютно неупругого столкновения. Выберем положительное направление оси X в сторону движения первого шарика.
Импульс первого шарика до столкновения: \(p_1 = m_1 v_1\)
Импульс второго шарика до столкновения: \(p_2 = -m_2 v_2\) (так как он движется навстречу)
Общий импульс до столкновения: \(P_{до} = m_1 v_1 - m_2 v_2\)
После столкновения шарики слипаются и движутся как одно целое с общей массой \(M = m_1 + m_2\) и скоростью \(v'\).
Общий импульс после столкновения: \(P_{после} = (m_1 + m_2) v'\)
По закону сохранения импульса: \(P_{до} = P_{после}\)
\[m_1 v_1 - m_2 v_2 = (m_1 + m_2) v'\]
Подставим известные значения:
\[0,02 \text{ кг} \cdot 2 \text{ м/с} - 0,02 \text{ кг} \cdot 2 \text{ м/с} = (0,02 \text{ кг} + 0,02 \text{ кг}) v'\]
\[0,04 \text{ кг} \cdot \text{м/с} - 0,04 \text{ кг} \cdot \text{м/с} = 0,04 \text{ кг} \cdot v'\]
\[0 = 0,04 \text{ кг} \cdot v'\]
Отсюда, \(v' = 0 \text{ м/с}\).
Скорость шариков после столкновения равна нулю. Это означает, что шарики остановились.
3. Найдем изменение кинетической энергии шариков.
Кинетическая энергия до столкновения: \(E_{k_{до}} = \frac{m_1 v_1^2}{2} + \frac{m_2 v_2^2}{2}\)
\[E_{k_{до}} = \frac{0,02 \text{ кг} \cdot (2 \text{ м/с})^2}{2} + \frac{0,02 \text{ кг} \cdot (2 \text{ м/с})^2}{2}\]
\[E_{k_{до}} = \frac{0,02 \text{ кг} \cdot 4 \text{ м}^2/\text{с}^2}{2} + \frac{0,02 \text{ кг} \cdot 4 \text{ м}^2/\text{с}^2}{2}\]
\[E_{k_{до}} = 0,04 \text{ Дж} + 0,04 \text{ Дж} = 0,08 \text{ Дж}\]
Кинетическая энергия после столкновения: \(E_{k_{после}} = \frac{(m_1 + m_2) (v')^2}{2}\)
Так как \(v' = 0 \text{ м/с}\), то \(E_{k_{после}} = 0 \text{ Дж}\).
Изменение кинетической энергии: \(\Delta E_k = E_{k_{после}} - E_{k_{до}}\)
\[\Delta E_k = 0 \text{ Дж} - 0,08 \text{ Дж} = -0,08 \text{ Дж}\]
Отрицательное значение \(\Delta E_k\) означает, что кинетическая энергия уменьшилась. Это характерно для неупругих столкновений, где часть механической энергии переходит в другие виды энергии (например, тепловую, энергию деформации).
Ответ:
Скорость шариков после столкновения равна \(0 \text{ м/с}\).
Изменение кинетической энергии шариков в результате их столкновения равно \(-0,08 \text{ Дж}\).