Решение задачи №5 по физике: определение скорости груза

Задача №5 Дано: \(m_1 = m\) \(m_2 = 2m\) \(m_3 = m\) \(R_2 = 20\) см = \(0,2\) м \(r_2 = 0,8 R_2 = 16\) см = \(0,16\) м \(R_3 = 15\) см = \(0,15\) м \(i_{2x} = 18\) см = \(0,18\) м (радиус инерции катка 2) \(\alpha = 60^\circ\) \(f = 0,12\) (коэффициент трения скольжения) \(s = 0,28\pi\) м Найти: \(v_1\) — скорость груза 1 после прохождения пути \(s\). Решение: Для решения задачи воспользуемся теоремой об изменении кинетической энергии системы: \[T - T_0 = \sum A_i^e + \sum A_i^i\] Так как система начинает движение из состояния покоя, \(T_0 = 0\). Сумма работ внутренних сил для абсолютно жестких тел и нерастяжимых нитей равна нулю: \(\sum A_i^i = 0\). 1. Кинетическая энергия системы \(T\): Система состоит из груза 1 (поступательное движение), ступенчатого катка 2 (вращательное движение вокруг неподвижной оси) и катка 3 (плоское движение, качение без проскальзывания). Выразим скорости всех тел через скорость груза 1 (\(v_1\)): Угловая скорость катка 2: \[\omega_2 = \frac{v_1}{r_2}\] Скорость точки касания катков 2 и 3: \[v_{23} = \omega_2 \cdot R_2 = v_1 \cdot \frac{R_2}{r_2}\] Так как каток 3 катится без проскальзывания по неподвижной поверхности, его мгновенный центр скоростей находится в нижней точке. Тогда скорость центра масс катка 3: \[v_3 = \frac{v_{23}}{2} = \frac{v_1 \cdot R_2}{2 r_2}\] Угловая скорость катка 3: \[\omega_3 = \frac{v_3}{R_3} = \frac{v_1 \cdot R_2}{2 r_2 R_3}\] Кинетическая энергия: \[T = T_1 + T_2 + T_3\] \[T_1 = \frac{1}{2} m_1 v_1^2 = \frac{1}{2} m v_1^2\] \[T_2 = \frac{1}{2} J_2 \omega_2^2 = \frac{1}{2} (m_2 i_{2x}^2) \left(\frac{v_1}{r_2}\right)^2 = \frac{1}{2} (2m \cdot 0,18^2) \frac{v_1^2}{0,16^2} \approx 1,2656 m v_1^2\] \[T_3 = \frac{1}{2} m_3 v_3^2 + \frac{1}{2} J_3 \omega_3^2 = \frac{1}{2} m v_3^2 + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} m R_3^2) \omega_3^2 = \frac{3}{4} m v_3^2\] Подставим \(v_3\): \[T_3 = \frac{3}{4} m \left(\frac{v_1 \cdot 0,2}{2 \cdot 0,16}\right)^2 = \frac{3}{4} m (0,625 v_1)^2 \approx 0,293 m v_1^2\] Итоговая кинетическая энергия: \[T = m v_1^2 (0,5 + 1,2656 + 0,293) = 2,0586 m v_1^2\] 2. Работа внешних сил \(\sum A\): На систему действуют силы тяжести и сила трения груза 1. Работа силы тяжести груза 1: \[A_{G1} = m_1 g s \sin \alpha = m \cdot 9,81 \cdot s \cdot \sin 60^\circ\] Работа силы трения груза 1: \[A_{tr1} = -f N s = -f m_1 g \cos \alpha \cdot s = -0,12 \cdot m \cdot 9,81 \cdot \cos 60^\circ \cdot s\] Работа силы тяжести катка 3 (опускается на высоту \(h_3 = s_3 \sin \beta\), но в данной схеме каток 3 движется горизонтально или угол не задан, обычно в таких задачах каток 3 на горизонтальной опоре, работа \(A_{G3} = 0\)). Суммарная работа: \[\sum A = m \cdot 9,81 \cdot s (\sin 60^\circ - 0,12 \cos 60^\circ)\] \[\sum A = m \cdot 9,81 \cdot 0,28\pi (0,866 - 0,06) \approx 6,948 m\] 3. Находим скорость \(v_1\): \[2,0586 m v_1^2 = 6,948 m\] \[v_1^2 = \frac{6,948}{2,0586} \approx 3,375\] \[v_1 = \sqrt{3,375} \approx 1,84 \text{ м/с}\] Ответ: \(v_1 \approx 1,84\) м/с.