Решение задачи Коши y'' + y = 2cos x

Ниже представлено решение задач из экзаменационного билета № 20 по дисциплине «Индустриальная математика». Задание 3. Найти решение задачи Коши \( y'' + y = 2\cos x \), \( y(0)=1 \), \( y'(0)=0 \). Решение: 1. Найдем общее решение однородного уравнения \( y'' + y = 0 \). Составим характеристическое уравнение: \[ k^2 + 1 = 0 \Rightarrow k^2 = -1 \Rightarrow k = \pm i \] Общее решение однородного уравнения имеет вид: \[ y_{оо} = C_1 \cos x + C_2 \sin x \] 2. Найдем частное решение неоднородного уравнения \( y'' + y = 2\cos x \). Правая часть имеет вид \( f(x) = P_n(x) e^{\alpha x} \cos(\beta x) \), где \( \alpha = 0 \), \( \beta = 1 \). Так как число \( \alpha + i\beta = i \) является корнем характеристического уравнения, то имеет место резонанс. Частное решение ищем в виде: \[ y_{чн} = x(A \cos x + B \sin x) \] Вычислим производные: \[ y'_{чн} = A \cos x + B \sin x + x(-A \sin x + B \cos x) \] \[ y''_{чн} = -A \sin x + B \cos x - A \sin x + B \cos x + x(-A \cos x - B \sin x) = -2A \sin x + 2B \cos x - x(A \cos x + B \sin x) \] Подставим в исходное уравнение: \[ -2A \sin x + 2B \cos x - x(A \cos x + B \sin x) + x(A \cos x + B \sin x) = 2\cos x \] \[ -2A \sin x + 2B \cos x = 2\cos x \] Приравниваем коэффициенты: При \( \sin x \): \( -2A = 0 \Rightarrow A = 0 \) При \( \cos x \): \( 2B = 2 \Rightarrow B = 1 \) Следовательно, \( y_{чн} = x \sin x \). 3. Общее решение неоднородного уравнения: \[ y(x) = y_{оо} + y_{чн} = C_1 \cos x + C_2 \sin x + x \sin x \] 4. Найдем константы из начальных условий: \( y(0) = C_1 \cos 0 + C_2 \sin 0 + 0 \cdot \sin 0 = 1 \Rightarrow C_1 = 1 \) Найдем производную: \[ y'(x) = -C_1 \sin x + C_2 \cos x + \sin x + x \cos x \] \( y'(0) = -C_1 \cdot 0 + C_2 \cdot 1 + 0 + 0 = 0 \Rightarrow C_2 = 0 \) Ответ: \( y = \cos x + x \sin x \). Задание 4. Построить ряд по степеням \( (x-a) \) и указать интервал его сходимости для функции \( y = \frac{x}{4+x^2} \), \( a=0 \). Решение: Преобразуем функцию для использования табличного разложения в ряд Маклорена для геометрической прогрессии \( \frac{1}{1-t} = \sum_{n=0}^{\infty} t^n \): \[ y = \frac{x}{4(1 + \frac{x^2}{4})} = \frac{x}{4} \cdot \frac{1}{1 - (-\frac{x^2}{4})} \] Пусть \( t = -\frac{x^2}{4} \). Тогда: \[ y = \frac{x}{4} \sum_{n=0}^{\infty} \left( -\frac{x^2}{4} \right)^n = \frac{x}{4} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n}}{4^n} \] Внесем множитель перед суммой внутрь: \[ y = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{4^{n+1}} \] Развернутый вид ряда: \[ y = \frac{x}{4} - \frac{x^3}{16} + \frac{x^5}{64} - \dots \] Найдем интервал сходимости. Ряд сходится, когда \( |t| < 1 \): \[ \left| -\frac{x^2}{4} \right| < 1 \Rightarrow \frac{x^2}{4} < 1 \Rightarrow x^2 < 4 \Rightarrow |x| < 2 \] Интервал сходимости: \( x \in (-2, 2) \). Ответ: \( y = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{4^{n+1}} \), интервал сходимости \( (-2, 2) \).