Решение задачи про носки: Сколько нужно вытащить?

Задача про носки Условие: В ящике лежат носки четырех цветов: синие, желтые, красные и черные. Мы достаем их вслепую по одному. Вопрос 1: Сколько максимально нужно достать носков, чтобы получить пару одного цвета? Решение: Для решения воспользуемся принципом Дирихле. В худшем случае мы можем сначала достать по одному носку каждого цвета. Количество цветов \( n = 4 \). Если мы достанем 4 носка, может случиться так, что все они будут разными (1 синий, 1 желтый, 1 красный, 1 черный). Следующий, 5-й носок, обязательно совпадет по цвету с одним из уже вытащенных. \[ 4 + 1 = 5 \] Ответ: 5 носков. Вопрос 2: Сколько нужно достать носков, чтобы получить еще и запасной комплект (вторую пару) одного цвета? Решение: Рассмотрим самый неблагоприятный вариант развития событий, при котором мы максимально долго не можем собрать вторую пару. 1. Мы уже выяснили, что при извлечении 5 носков у нас гарантированно есть одна пара. Допустим, это пара синих носков. 2. У нас на руках осталось 3 носка других цветов (желтый, красный, черный) и 1 пара (синие). 3. Чтобы гарантированно получить вторую пару, нам нужно продолжать доставать носки. Худший случай — это когда мы достаем еще по одному носку каждого из оставшихся цветов, прежде чем выпадет дубликат. Математически для \( k \) пар при \( n \) цветах формула выглядит так: \[ N = n + 2k - 1 \] Где \( n = 4 \) (цвета), \( k = 2 \) (нужное количество пар). \[ N = 4 + 2 \cdot 2 - 1 = 4 + 4 - 1 = 7 \] Проверим логически: Если мы достали 6 носков, у нас может быть по два носка двух цветов (2 пары), но может быть и такая ситуация: 3 синих и по одному каждого другого цвета (3 синих, 1 желтый, 1 красный, 1 черный). В этом случае у нас только одна пара синих, а третий синий носок пары не имеет. При извлечении 7-го носка: - Если это синий, у нас будет две пары синих. - Если это любой другой цвет, у нас образуется пара этого цвета в дополнение к синей. Ответ: 7 носков.