Решение:

Решение задачи: Для нахождения отношения площадей треугольников \(AOC\) и \(ODB\) воспользуемся формулой площади треугольника через две стороны и синус угла между ними: \[S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin(\alpha)\] 1. Рассмотрим углы при вершине \(O\). Углы \(\angle AOC\) и \(\angle DOB\) являются вертикальными. По свойству вертикальных углов: \[\angle AOC = \angle DOB = \alpha\] Следовательно, \(\sin(\angle AOC) = \sin(\angle DOB)\). 2. По условию задачи точка \(O\) делит отрезок \(AB\) пополам, значит: \[AO = OB\] 3. Запишем площади треугольников: \[S_{AOC} = \frac{1}{2} \cdot AO \cdot OC \cdot \sin(\alpha)\] \[S_{ODB} = \frac{1}{2} \cdot OB \cdot OD \cdot \sin(\alpha)\] 4. Найдем отношение площадей \(\frac{S_{AOC}}{S_{ODB}}\): \[\frac{S_{AOC}}{S_{ODB}} = \frac{\frac{1}{2} \cdot AO \cdot OC \cdot \sin(\alpha)}{\frac{1}{2} \cdot OB \cdot OD \cdot \sin(\alpha)}\] Сократим одинаковые множители (\(\frac{1}{2}\), \(\sin(\alpha)\) и равные отрезки \(AO\) и \(OB\)): \[\frac{S_{AOC}}{S_{ODB}} = \frac{OC}{OD}\] 5. Подставим числовые значения \(OC = 4\) см и \(OD = 16\) см: \[\frac{S_{AOC}}{S_{ODB}} = \frac{4}{16} = \frac{1}{4} = 0,25\] Ответ: 0,25.