Решение: Отношение площадей треугольников AOC и BOD

Решение задачи: 1. Рассмотрим углы при вершине \(O\). Углы \(\angle AOC\) и \(\angle BOD\) являются вертикальными, следовательно: \[\angle AOC = \angle BOD = \alpha\] \[\sin(\angle AOC) = \sin(\angle BOD) = \sin \alpha\] 2. Запишем формулы площадей треугольников через две стороны и синус угла между ними: \[S_{AOC} = \frac{1}{2} \cdot AO \cdot CO \cdot \sin \alpha = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 5 \cdot \sin \alpha = 7,5 \sin \alpha\] \[S_{BOD} = \frac{1}{2} \cdot BO \cdot DO \cdot \sin \alpha = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 4 \cdot \sin \alpha = 12 \sin \alpha\] 3. Найдем отношение площадей этих треугольников: \[\frac{S_{AOC}}{S_{BOD}} = \frac{7,5 \sin \alpha}{12 \sin \alpha} = \frac{7,5}{12} = \frac{75}{120} = \frac{5}{8}\] Отсюда выразим площадь \(S_{BOD}\) через \(S_{AOC}\): \[S_{BOD} = \frac{8}{5} S_{AOC} = 1,6 S_{AOC}\] 4. По условию сумма площадей треугольников равна \(13 \text{ см}^2\): \[S_{AOC} + S_{BOD} = 13\] Подставим выражение для \(S_{BOD}\): \[S_{AOC} + 1,6 S_{AOC} = 13\] \[2,6 S_{AOC} = 13\] 5. Вычислим площадь треугольника \(AOC\): \[S_{AOC} = \frac{13}{2,6} = \frac{130}{26} = 5 \text{ см}^2\] Ответ: 5.