Решение показательных уравнений: 3^(x^2-x)=9, 2^(x-1)+2^(x+2)=36, 25^x + 10*5^(x-1) - 3 = 0

Вариант 1 а) \( 3^{x^2 - x} = 9 \) Решение: Представим число 9 как степень с основанием 3: \[ 3^{x^2 - x} = 3^2 \] Так как основания равны, приравниваем показатели степеней: \[ x^2 - x = 2 \] \[ x^2 - x - 2 = 0 \] Решим квадратное уравнение через дискриминант или по теореме Виета: \[ D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9 \] \[ x_1 = \frac{1 + 3}{2} = 2 \] \[ x_2 = \frac{1 - 3}{2} = -1 \] Ответ: -1; 2. б) \( 2^{x-1} + 2^{x+2} = 36 \) Решение: Вынесем за скобки общий множитель с наименьшим показателем \( 2^{x-1} \): \[ 2^{x-1} \cdot (1 + 2^3) = 36 \] \[ 2^{x-1} \cdot (1 + 8) = 36 \] \[ 2^{x-1} \cdot 9 = 36 \] Разделим обе части на 9: \[ 2^{x-1} = 4 \] \[ 2^{x-1} = 2^2 \] Приравниваем показатели: \[ x - 1 = 2 \] \[ x = 3 \] Ответ: 3. в) \( 25^x + 10 \cdot 5^{x-1} - 3 = 0 \) Решение: Преобразуем слагаемые: \[ (5^2)^x + 10 \cdot \frac{5^x}{5} - 3 = 0 \] \[ (5^x)^2 + 2 \cdot 5^x - 3 = 0 \] Пусть \( 5^x = t \), где \( t > 0 \). Получим квадратное уравнение: \[ t^2 + 2t - 3 = 0 \] По теореме Виета: \[ t_1 = 1 \] \[ t_2 = -3 \] (не подходит, так как \( t > 0 \)) Вернемся к замене: \[ 5^x = 1 \] \[ 5^x = 5^0 \] \[ x = 0 \] Ответ: 0. г) \( 2^x \cdot 5^{x+2} = 2500 \) Решение: Распишем степень \( 5^{x+2} \): \[ 2^x \cdot 5^x \cdot 5^2 = 2500 \] \[ (2 \cdot 5)^x \cdot 25 = 2500 \] \[ 10^x \cdot 25 = 2500 \] Разделим обе части на 25: \[ 10^x = 100 \] \[ 10^x = 10^2 \] \[ x = 2 \] Ответ: 2.