Решение задачи: Энергия покоя и скорость частицы

Задача 4. Энергия покоя Дано: \( E_k = E_0 \) Найти: \( v - ? \) Решение: Полная энергия релятивистской частицы \( E \) определяется как сумма её энергии покоя \( E_0 \) и кинетической энергии \( E_k \): \[ E = E_0 + E_k \] Согласно условию задачи \( E_k = E_0 \), тогда полная энергия равна: \[ E = E_0 + E_0 = 2E_0 \] Вспомним формулы для полной энергии и энергии покоя через массу и скорость: \[ E = \frac{m_0 c^2}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} \] \[ E_0 = m_0 c^2 \] Подставим данные выражения в уравнение \( E = 2E_0 \): \[ \frac{m_0 c^2}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} = 2 m_0 c^2 \] Сократим обе части уравнения на \( m_0 c^2 \): \[ \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} = 2 \] Отсюда следует: \[ \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}} = \frac{1}{2} \] Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня: \[ 1 - \frac{v^2}{c^2} = \frac{1}{4} \] Перенесем слагаемые для нахождения \( v \): \[ \frac{v^2}{c^2} = 1 - \frac{1}{4} \] \[ \frac{v^2}{c^2} = \frac{3}{4} \] Извлечем квадратный корень из обеих частей: \[ \frac{v}{c} = \sqrt{\frac{3}{4}} \] \[ \frac{v}{c} = \frac{\sqrt{3}}{2} \] Окончательно получаем значение скорости: \[ v = \frac{\sqrt{3}}{2} c \] Ответ: \( v = \frac{\sqrt{3}}{2} c \)