Решение показательных уравнений

Решение показательных уравнений. а) \( 2^{x^2 - 3x} = \frac{1}{4} \) Приведем обе части уравнения к основанию 2: \[ 2^{x^2 - 3x} = 2^{-2} \] Так как основания равны, приравниваем показатели: \[ x^2 - 3x = -2 \] \[ x^2 - 3x + 2 = 0 \] Решим квадратное уравнение через дискриминант или по теореме Виета: \[ D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 - 8 = 1 \] \[ x_1 = \frac{3 + 1}{2} = 2 \] \[ x_2 = \frac{3 - 1}{2} = 1 \] Ответ: 1; 2. б) \( 5^x - 5^{x-2} = 600 \) Вынесем за скобки множитель с наименьшим показателем: \[ 5^{x-2} \cdot (5^2 - 1) = 600 \] \[ 5^{x-2} \cdot (25 - 1) = 600 \] \[ 5^{x-2} \cdot 24 = 600 \] Разделим обе части на 24: \[ 5^{x-2} = 25 \] \[ 5^{x-2} = 5^2 \] Приравниваем показатели: \[ x - 2 = 2 \] \[ x = 4 \] Ответ: 4. в) \( 9^x + 3^{x+1} - 4 = 0 \) Преобразуем уравнение: \[ (3^2)^x + 3 \cdot 3^x - 4 = 0 \] \[ (3^x)^2 + 3 \cdot 3^x - 4 = 0 \] Пусть \( 3^x = t \), где \( t > 0 \). Получаем квадратное уравнение: \[ t^2 + 3t - 4 = 0 \] По теореме Виета: \[ t_1 = 1 \] \[ t_2 = -4 \] (не подходит, так как \( t > 0 \)) Вернемся к замене: \[ 3^x = 1 \] \[ 3^x = 3^0 \] \[ x = 0 \] Ответ: 0. г) \( 7^{x+1} \cdot 2^x = 98 \) Разложим число 98 на множители и преобразуем левую часть: \[ 7 \cdot 7^x \cdot 2^x = 98 \] Разделим обе части на 7: \[ 7^x \cdot 2^x = 14 \] Используем свойство степеней \( a^n \cdot b^n = (ab)^n \): \[ (7 \cdot 2)^x = 14 \] \[ 14^x = 14^1 \] \[ x = 1 \] Ответ: 1.