Решение уравнений с корнями: Вариант 5

Вариант №5 Решение уравнений: а) \(\sqrt{x^2 - 9} = 4\) Возведем обе части уравнения в квадрат: \[(\sqrt{x^2 - 9})^2 = 4^2\] \[x^2 - 9 = 16\] Перенесем число -9 в правую часть: \[x^2 = 16 + 9\] \[x^2 = 25\] Отсюда находим корни: \[x_1 = 5, \quad x_2 = -5\] Проверка: При \(x = 5\): \(\sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4\) (верно). При \(x = -5\): \(\sqrt{(-5)^2 - 9} = \sqrt{25 - 9} = 4\) (верно). Ответ: \(x_1 = 5, x_2 = -5\). б) \(\sqrt[3]{x + 2} = \sqrt[3]{2x - 3}\) Возведем обе части уравнения в куб: \[(\sqrt[3]{x + 2})^3 = (\sqrt[3]{2x - 3})^3\] \[x + 2 = 2x - 3\] Перенесем слагаемые с \(x\) в одну сторону, а числа в другую: \[2 - (-3) = 2x - x\] \[5 = x\] \[x = 5\] Для корней нечетной степени проверка не обязательна, так как область определения — все действительные числа. Ответ: \(x = 5\). в) \(\sqrt{x - 1} = x - 3\) Возведем обе части в квадрат, учитывая условие \(x - 3 \ge 0\) (так как корень не может быть отрицательным): \[x - 1 = (x - 3)^2\] \[x - 1 = x^2 - 6x + 9\] Перенесем всё в одну сторону: \[x^2 - 6x - x + 9 + 1 = 0\] \[x^2 - 7x + 10 = 0\] Решим квадратное уравнение через дискриминант: \[D = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10 = 49 - 40 = 9\] \[x = \frac{7 \pm \sqrt{9}}{2} = \frac{7 \pm 3}{2}\] \[x_1 = \frac{10}{2} = 5, \quad x_2 = \frac{4}{2} = 2\] Проверка корней: 1) При \(x = 5\): \(\sqrt{5 - 1} = 5 - 3 \Rightarrow \sqrt{4} = 2 \Rightarrow 2 = 2\) (подходит). 2) При \(x = 2\): \(\sqrt{2 - 1} = 2 - 3 \Rightarrow \sqrt{1} = -1 \Rightarrow 1 \neq -1\) (не подходит). Ответ: \(x = 5\).