Решение задачи о вероятности разбитых бутылок

Задача №4 Дано: Вероятность того, что одна бутылка разобьется: \( p = 0,003 \). Количество бутылок в партии: \( n = 1000 \). Найти: Вероятность того, что в партии окажется хотя бы одна битая бутылка: \( P(A) \). Решение: Событие \( A \) — «в партии есть хотя бы одна битая бутылка». Противоположное событие \( \bar{A} \) — «в партии нет ни одной битой бутылки» (все бутылки целы). 1. Найдем вероятность того, что одна конкретная бутылка останется целой: \[ q = 1 - p = 1 - 0,003 = 0,997 \] 2. Вероятность того, что все \( n = 1000 \) бутылок останутся целыми, вычисляется по формуле: \[ P(\bar{A}) = q^n = 0,997^{1000} \] 3. Искомая вероятность события \( A \) (хотя бы одна битая) равна: \[ P(A) = 1 - P(\bar{A}) = 1 - 0,997^{1000} \] Для вычисления такого значения при большом \( n \) и малом \( p \) удобно использовать формулу Пуассона, где параметр \( \lambda = n \cdot p \): \[ \lambda = 1000 \cdot 0,003 = 3 \] Вероятность того, что битых бутылок будет ровно \( k = 0 \): \[ P(0) \approx e^{-\lambda} = e^{-3} \] Тогда вероятность того, что будет хотя бы одна битая бутылка: \[ P(A) \approx 1 - e^{-3} \] Используя значение \( e^{-3} \approx 0,0498 \): \[ P(A) \approx 1 - 0,0498 = 0,9502 \] Ответ: \( P(A) \approx 0,9502 \) (или \( 95,02\% \)).