Контрольная работа №2 «Дроби»
Вариант 2
№ 1. Вычислите:
а) \( \frac{4}{7} + \frac{2}{5} \)
Решение:
Чтобы сложить дроби с разными знаменателями, нужно привести их к общему знаменателю. Общий знаменатель для 7 и 5 — это 35.
\[ \frac{4}{7} + \frac{2}{5} = \frac{4 \cdot 5}{7 \cdot 5} + \frac{2 \cdot 7}{5 \cdot 7} = \frac{20}{35} + \frac{14}{35} = \frac{20 + 14}{35} = \frac{34}{35} \]
Ответ: \( \frac{34}{35} \)
б) \( \frac{4}{27} \cdot \frac{9}{16} \)
Решение:
Чтобы умножить дроби, нужно умножить числители и знаменатели.
\[ \frac{4}{27} \cdot \frac{9}{16} = \frac{4 \cdot 9}{27 \cdot 16} \]
Сократим дроби до умножения:
\[ \frac{4}{27} \cdot \frac{9}{16} = \frac{1}{3 \cdot 4} = \frac{1}{12} \]
Ответ: \( \frac{1}{12} \)
в) \( \frac{7}{12} - \frac{5}{9} \)
Решение:
Чтобы вычесть дроби с разными знаменателями, нужно привести их к общему знаменателю. Общий знаменатель для 12 и 9 — это 36.
\[ \frac{7}{12} - \frac{5}{9} = \frac{7 \cdot 3}{12 \cdot 3} - \frac{5 \cdot 4}{9 \cdot 4} = \frac{21}{36} - \frac{20}{36} = \frac{21 - 20}{36} = \frac{1}{36} \]
Ответ: \( \frac{1}{36} \)
г) \( \frac{12}{35} : \frac{2}{5} \)
Решение:
Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй.
\[ \frac{12}{35} : \frac{2}{5} = \frac{12}{35} \cdot \frac{5}{2} \]
Сократим дроби до умножения:
\[ \frac{12}{35} \cdot \frac{5}{2} = \frac{6 \cdot 1}{7 \cdot 1} = \frac{6}{7} \]
Ответ: \( \frac{6}{7} \)
№ 2. На пути из пункта А в пункт В велосипедист потратил \( 3\frac{1}{6} \) ч, а на путь из пункта В в пункт С - на \( 1\frac{1}{3} \) ч меньше. Сколько часов потратил велосипедист на путь из пункта А в пункт С?
Решение:
1. Найдем время, которое велосипедист потратил на путь из пункта В в пункт С.
\[ 3\frac{1}{6} - 1\frac{1}{3} = \frac{19}{6} - \frac{4}{3} = \frac{19}{6} - \frac{4 \cdot 2}{3 \cdot 2} = \frac{19}{6} - \frac{8}{6} = \frac{19 - 8}{6} = \frac{11}{6} \]
Значит, на путь из пункта В в пункт С велосипедист потратил \( \frac{11}{6} \) часа.
2. Найдем общее время, которое велосипедист потратил на путь из пункта А в пункт С.
\[ 3\frac{1}{6} + \frac{11}{6} = \frac{19}{6} + \frac{11}{6} = \frac{19 + 11}{6} = \frac{30}{6} = 5 \]
Ответ: Велосипедист потратил 5 часов на путь из пункта А в пункт С.
№ 3. Найдите процент содержания меди в сплаве, если 600 г сплава содержит 48 г меди.
Решение:
Чтобы найти процент содержания меди, нужно массу меди разделить на общую массу сплава и умножить на 100%.
\[ \frac{48 \text{ г}}{600 \text{ г}} \cdot 100\% \]
\[ \frac{48}{600} = \frac{48 : 12}{600 : 12} = \frac{4}{50} = \frac{2}{25} \]
\[ \frac{2}{25} \cdot 100\% = 2 \cdot 4\% = 8\% \]
Ответ: Процент содержания меди в сплаве составляет 8%.
№ 4. Решите уравнение: \( \frac{7}{8} = \frac{x}{96} \)
Решение:
Для решения уравнения можно использовать свойство пропорции: произведение крайних членов равно произведению средних членов.
\[ 7 \cdot 96 = 8 \cdot x \]
\[ 672 = 8x \]
Чтобы найти \( x \), разделим 672 на 8:
\[ x = \frac{672}{8} \]
\[ x = 84 \]
Ответ: \( x = 84 \)
№ 5. Между тремя санаториями распределили 320 кг бананов в соотношении 4:7:5. Сколько килограммов бананов распределили в каждый санаторий?
Решение:
1. Найдем общее количество частей в соотношении.
\[ 4 + 7 + 5 = 16 \]
Всего 16 частей.
2. Найдем, сколько килограммов бананов приходится на одну часть.
\[ \frac{320 \text{ кг}}{16} = 20 \text{ кг/часть} \]
3. Найдем, сколько килограммов бананов получил каждый санаторий.
Первый санаторий: \( 4 \cdot 20 \text{ кг} = 80 \text{ кг} \)
Второй санаторий: \( 7 \cdot 20 \text{ кг} = 140 \text{ кг} \)
Третий санаторий: \( 5 \cdot 20 \text{ кг} = 100 \text{ кг} \)
Проверка: \( 80 + 140 + 100 = 320 \text{ кг} \)
Ответ: Первый санаторий получил 80 кг бананов, второй - 140 кг, третий - 100 кг.
№ 6. Выполните действия: \( \left(10 - 1\frac{17}{27} : \frac{22}{45}\right) \cdot \frac{9}{40} \)
Решение:
Выполним действия по порядку.
1. Переведем смешанную дробь в неправильную.
\[ 1\frac{17}{27} = \frac{1 \cdot 27 + 17}{27} = \frac{27 + 17}{27} = \frac{44}{27} \]
2. Выполним деление.
\[ \frac{44}{27} : \frac{22}{45} = \frac{44}{27} \cdot \frac{45}{22} \]
Сократим дроби:
\[ \frac{44}{27} \cdot \frac{45}{22} = \frac{2 \cdot 5}{3 \cdot 1} = \frac{10}{3} \]
3. Выполним вычитание в скобках.
\[ 10 - \frac{10}{3} = \frac{10 \cdot 3}{3} - \frac{10}{3} = \frac{30}{3} - \frac{10}{3} = \frac{30 - 10}{3} = \frac{20}{3} \]
4. Выполним умножение.
\[ \frac{20}{3} \cdot \frac{9}{40} \]
Сократим дроби:
\[ \frac{20}{3} \cdot \frac{9}{40} = \frac{1 \cdot 3}{1 \cdot 2} = \frac{3}{2} \]
Можно записать в виде смешанной дроби:
\[ \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} \]
Ответ: \( 1\frac{1}{2} \) или \( \frac{3}{2} \)