Решение задачи: угол между векторами при условии ортогональности

Вот решение задачи: Условие задачи: Если вектор \( \vec{a} + 3\vec{b} \) ортогонален вектору \( 7\vec{a} - 5\vec{b} \), а вектор \( \vec{a} - 4\vec{b} \) ортогонален вектору \( 7\vec{a} - 2\vec{b} \), то угол между векторами \( \vec{a} \) и \( \vec{b} \) равен. Решение: 1. Вспомним, что если два вектора ортогональны, то их скалярное произведение равно нулю. Из первого условия: \( (\vec{a} + 3\vec{b}) \cdot (7\vec{a} - 5\vec{b}) = 0 \) Раскроем скобки: \( 7\vec{a} \cdot \vec{a} - 5\vec{a} \cdot \vec{b} + 21\vec{b} \cdot \vec{a} - 15\vec{b} \cdot \vec{b} = 0 \) Помним, что \( \vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}|^2 \), \( \vec{b} \cdot \vec{b} = |\vec{b}|^2 \) и \( \vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a} \). Тогда: \( 7|\vec{a}|^2 + 16\vec{a} \cdot \vec{b} - 15|\vec{b}|^2 = 0 \) (Уравнение 1) 2. Из второго условия: \( (\vec{a} - 4\vec{b}) \cdot (7\vec{a} - 2\vec{b}) = 0 \) Раскроем скобки: \( 7\vec{a} \cdot \vec{a} - 2\vec{a} \cdot \vec{b} - 28\vec{b} \cdot \vec{a} + 8\vec{b} \cdot \vec{b} = 0 \) Тогда: \( 7|\vec{a}|^2 - 30\vec{a} \cdot \vec{b} + 8|\vec{b}|^2 = 0 \) (Уравнение 2) 3. Теперь у нас есть система из двух уравнений: 1) \( 7|\vec{a}|^2 + 16\vec{a} \cdot \vec{b} - 15|\vec{b}|^2 = 0 \) 2) \( 7|\vec{a}|^2 - 30\vec{a} \cdot \vec{b} + 8|\vec{b}|^2 = 0 \) Вычтем Уравнение 2 из Уравнения 1: \( (7|\vec{a}|^2 + 16\vec{a} \cdot \vec{b} - 15|\vec{b}|^2) - (7|\vec{a}|^2 - 30\vec{a} \cdot \vec{b} + 8|\vec{b}|^2) = 0 \) \( 7|\vec{a}|^2 + 16\vec{a} \cdot \vec{b} - 15|\vec{b}|^2 - 7|\vec{a}|^2 + 30\vec{a} \cdot \vec{b} - 8|\vec{b}|^2 = 0 \) \( 46\vec{a} \cdot \vec{b} - 23|\vec{b}|^2 = 0 \) Разделим на 23: \( 2\vec{a} \cdot \vec{b} - |\vec{b}|^2 = 0 \) \( 2\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{b}|^2 \) 4. Подставим \( |\vec{b}|^2 = 2\vec{a} \cdot \vec{b} \) в Уравнение 1: \( 7|\vec{a}|^2 + 16\vec{a} \cdot \vec{b} - 15(2\vec{a} \cdot \vec{b}) = 0 \) \( 7|\vec{a}|^2 + 16\vec{a} \cdot \vec{b} - 30\vec{a} \cdot \vec{b} = 0 \) \( 7|\vec{a}|^2 - 14\vec{a} \cdot \vec{b} = 0 \) Разделим на 7: \( |\vec{a}|^2 - 2\vec{a} \cdot \vec{b} = 0 \) \( |\vec{a}|^2 = 2\vec{a} \cdot \vec{b} \) 5. Теперь у нас есть два соотношения: \( |\vec{a}|^2 = 2\vec{a} \cdot \vec{b} \) \( |\vec{b}|^2 = 2\vec{a} \cdot \vec{b} \) Из этого следует, что \( |\vec{a}|^2 = |\vec{b}|^2 \), а значит \( |\vec{a}| = |\vec{b}| \) (так как длины векторов неотрицательны). 6. Вспомним формулу для скалярного произведения: \( \vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos \theta \), где \( \theta \) - угол между векторами \( \vec{a} \) и \( \vec{b} \). Подставим это в одно из соотношений, например, \( |\vec{a}|^2 = 2\vec{a} \cdot \vec{b} \): \( |\vec{a}|^2 = 2 |\vec{a}| |\vec{b}| \cos \theta \) Так как \( |\vec{a}| = |\vec{b}| \), заменим \( |\vec{b}| \) на \( |\vec{a}| \): \( |\vec{a}|^2 = 2 |\vec{a}| |\vec{a}| \cos \theta \) \( |\vec{a}|^2 = 2 |\vec{a}|^2 \cos \theta \) Если \( |\vec{a}| \neq 0 \) (если \( |\vec{a}| = 0 \), то \( \vec{a} = \vec{0} \), и задача теряет смысл, так как угол не определен), то мы можем разделить обе части на \( |\vec{a}|^2 \): \( 1 = 2 \cos \theta \) \( \cos \theta = \frac{1}{2} \) 7. Найдем угол \( \theta \): \( \theta = \arccos \left( \frac{1}{2} \right) \) \( \theta = 60^\circ \) или \( \frac{\pi}{3} \) радиан. Ответ: \( 60^\circ \)