Решение: Представить cos(π/6 - i) в алгебраической форме

Задание: Представить в алгебраической форме комплексное число \(\cos(\pi/6 - i)\), не используя формул тригонометрии (имеются в виду формулы сложения углов для косинуса). Решение: Для решения воспользуемся определением косинуса через экспоненту (формула Эйлера): \[ \cos z = \frac{e^{iz} + e^{-iz}}{2} \] В нашем случае \(z = \frac{\pi}{6} - i\). Подставим это значение в формулу: \[ \cos\left(\frac{\pi}{6} - i\right) = \frac{e^{i(\frac{\pi}{6} - i)} + e^{-i(\frac{\pi}{6} - i)}}{2} \] Раскроем скобки в показателях степеней, учитывая, что \(i^2 = -1\): \[ i\left(\frac{\pi}{6} - i\right) = i\frac{\pi}{6} - i^2 = i\frac{\pi}{6} + 1 \] \[ -i\left(\frac{\pi}{6} - i\right) = -i\frac{\pi}{6} + i^2 = -i\frac{\pi}{6} - 1 \] Подставим полученные выражения обратно: \[ \cos\left(\frac{\pi}{6} - i\right) = \frac{e^{1 + i\frac{\pi}{6}} + e^{-1 - i\frac{\pi}{6}}}{2} \] Используем свойства степеней \(e^{a+b} = e^a \cdot e^b\): \[ \cos\left(\frac{\pi}{6} - i\right) = \frac{e \cdot e^{i\frac{\pi}{6}} + e^{-1} \cdot e^{-i\frac{\pi}{6}}}{2} \] Применим формулу Эйлера \(e^{i\varphi} = \cos\varphi + i\sin\varphi\): \[ e^{i\frac{\pi}{6}} = \cos\frac{\pi}{6} + i\sin\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i \] \[ e^{-i\frac{\pi}{6}} = \cos\left(-\frac{\pi}{6}\right) + i\sin\left(-\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2}i \] Подставим эти значения в основное выражение: \[ \cos\left(\frac{\pi}{6} - i\right) = \frac{e\left(\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i\right) + e^{-1}\left(\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2}i\right)}{2} \] Сгруппируем вещественные и мнимые части: \[ \cos\left(\frac{\pi}{6} - i\right) = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}e + \frac{\sqrt{3}}{2}e^{-1} + i\left(\frac{1}{2}e - \frac{1}{2}e^{-1}\right)}{2} \] \[ \cos\left(\frac{\pi}{6} - i\right) = \frac{\sqrt{3}}{4}(e + e^{-1}) + i\frac{1}{4}(e - e^{-1}) \] Вспомним определения гиперболических функций: \(\text{ch}(1) = \frac{e^1 + e^{-1}}{2}\) и \(\text{sh}(1) = \frac{e^1 - e^{-1}}{2}\). Тогда: \[ \cos\left(\frac{\pi}{6} - i\right) = \frac{\sqrt{3}}{2} \text{ch}(1) + i \frac{1}{2} \text{sh}(1) \] Ответ: \(\frac{\sqrt{3}(e + e^{-1})}{4} + i \frac{e - e^{-1}}{4}\) или \(\frac{\sqrt{3}}{2} \text{ch}(1) + \frac{i}{2} \text{sh}(1)\).