Решение задачи с функцией распределения F(x)

Задача №6 Дано: Функция распределения \( F(x) \) имеет вид: \[ F(x) = \begin{cases} 0, & x \le 0 \\ ax^2, & 0 < x \le 1 \\ 1, & x > 1 \end{cases} \] Найти: параметр \( a \), плотность \( f(x) \), \( M(X) \), \( D(X) \), \( \sigma(X) \). Решение: 1. Нахождение параметра \( a \). Функция распределения непрерывна в точке \( x = 1 \). Следовательно: \[ \lim_{x \to 1-0} F(x) = F(1) \] \[ a \cdot 1^2 = 1 \implies a = 1 \] Таким образом, \( F(x) = x^2 \) на интервале \( (0, 1] \). 2. Нахождение плотности распределения \( f(x) \). Плотность вероятности — это производная от функции распределения: \( f(x) = F'(x) \). \[ f(x) = \begin{cases} 0, & x \le 0 \\ (x^2)' = 2x, & 0 < x \le 1 \\ 0, & x > 1 \end{cases} \] 3. Нахождение математического ожидания \( M(X) \). \[ M(X) = \int_{-\infty}^{+\infty} x f(x) dx = \int_{0}^{1} x \cdot 2x dx = \int_{0}^{1} 2x^2 dx \] \[ M(X) = \left[ \frac{2x^3}{3} \right]_0^1 = \frac{2}{3} \approx 0,667 \] 4. Нахождение дисперсии \( D(X) \). Сначала найдем второй начальный момент: \[ M(X^2) = \int_{0}^{1} x^2 \cdot 2x dx = \int_{0}^{1} 2x^3 dx = \left[ \frac{2x^4}{4} \right]_0^1 = \left[ \frac{x^4}{2} \right]_0^1 = \frac{1}{2} \] Теперь вычислим дисперсию по формуле \( D(X) = M(X^2) - [M(X)]^2 \): \[ D(X) = \frac{1}{2} - \left( \frac{2}{3} \right)^2 = \frac{1}{2} - \frac{4}{9} = \frac{9 - 8}{18} = \frac{1}{18} \approx 0,056 \] 5. Нахождение среднего квадратического отклонения \( \sigma(X) \). \[ \sigma(X) = \sqrt{D(X)} = \sqrt{\frac{1}{18}} = \frac{1}{3\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{6} \approx 0,236 \] Ответ: \( a = 1 \); \( f(x) = 2x \) при \( x \in (0, 1] \); \( M(X) = \frac{2}{3} \); \( D(X) = \frac{1}{18} \); \( \sigma(X) \approx 0,236 \).