Задача 1
Книжный магазин продавал книгу "Экономика" по цене 12 у.е. и продавал 100 экз. в неделю, а после того как поднял цену до 16 у.е. - стал продавать 90 экз. в неделю.
Найти: Какова эластичность спроса по цене?
Дано:
Начальная цена \(P_1 = 12\) у.е.
Начальное количество проданных книг \(Q_1 = 100\) экз.
Новая цена \(P_2 = 16\) у.е.
Новое количество проданных книг \(Q_2 = 90\) экз.
Найти:
Эластичность спроса по цене \(E_d\).
Решение:
Для определения эластичности спроса по цене используем формулу дуговой эластичности, так как у нас есть два разных уровня цены и спроса:
\[E_d = \frac{\frac{Q_2 - Q_1}{(Q_1 + Q_2)/2}}{\frac{P_2 - P_1}{(P_1 + P_2)/2}}\]Сначала найдем изменение количества спроса (\(\Delta Q\)) и изменение цены (\(\Delta P\)):
\[\Delta Q = Q_2 - Q_1 = 90 - 100 = -10\] \[\Delta P = P_2 - P_1 = 16 - 12 = 4\]Теперь найдем среднее значение количества спроса и цены:
\[(Q_1 + Q_2)/2 = (100 + 90)/2 = 190/2 = 95\] \[(P_1 + P_2)/2 = (12 + 16)/2 = 28/2 = 14\]Подставим эти значения в формулу эластичности:
\[E_d = \frac{\frac{-10}{95}}{\frac{4}{14}}\]Вычислим числитель:
\[\frac{-10}{95} \approx -0.10526\]Вычислим знаменатель:
\[\frac{4}{14} \approx 0.28571\]Теперь разделим числитель на знаменатель:
\[E_d = \frac{-0.10526}{0.28571} \approx -0.368\]Обычно эластичность спроса по цене указывается по модулю, так как она всегда отрицательна (при увеличении цены спрос падает, и наоборот).
\[|E_d| \approx 0.368\]Ответ:
Эластичность спроса по цене составляет примерно 0.368. Поскольку значение эластичности меньше 1, спрос на книгу "Экономика" является неэластичным. Это означает, что изменение цены на 1% приводит к изменению спроса менее чем на 1%.
Задача 2
Функции спроса и предложения холодильников «Север» составляют:
\[Q_d = 400 - P\] \[Q_s = 2 \cdot P - 260\]где \(P\) — цена, тыс. руб.
\(Q\) — объем, тыс. шт.
Найти: Определите, к чему приведет введение налога на продажи в размере 12,5% от цены (найти равновесную цену и равновесный объем продаж до и после введения налога)
Дано:
Функция спроса: \(Q_d = 400 - P\)
Функция предложения: \(Q_s = 2 \cdot P - 260\)
Налог на продажи: \(t = 12.5\%\) от цены, или \(0.125 \cdot P\)
Найти:
1. Равновесная цена (\(P_e\)) и равновесный объем (\(Q_e\)) до введения налога.
2. Равновесная цена (\(P'_e\)) и равновесный объем (\(Q'_e\)) после введения налога.
Решение:
1. Равновесие до введения налога:
В точке равновесия спрос равен предложению: \(Q_d = Q_s\).
\[400 - P = 2 \cdot P - 260\]Перенесем \(P\) в одну сторону, а числа в другую:
\[400 + 260 = 2 \cdot P + P\] \[660 = 3 \cdot P\]Разделим обе части на 3, чтобы найти равновесную цену:
\[P_e = \frac{660}{3} = 220\]Теперь подставим равновесную цену в любую из функций (спроса или предложения), чтобы найти равновесный объем.
Используем функцию спроса:
\[Q_e = 400 - P_e = 400 - 220 = 180\]Проверим с помощью функции предложения:
\[Q_e = 2 \cdot P_e - 260 = 2 \cdot 220 - 260 = 440 - 260 = 180\]Равновесная цена до налога \(P_e = 220\) тыс. руб., равновесный объем \(Q_e = 180\) тыс. шт.
2. Равновесие после введения налога:
Налог на продажи в размере 12,5% от цены означает, что цена, которую получает продавец (\(P_s\)), будет меньше цены, которую платит покупатель (\(P_d\)), на величину налога. То есть, \(P_d = P_s + T\), где \(T\) - сумма налога.
Налог составляет 12,5% от цены, которую платит покупатель. Значит, \(T = 0.125 \cdot P_d\).
Тогда \(P_s = P_d - 0.125 \cdot P_d = (1 - 0.125) \cdot P_d = 0.875 \cdot P_d\).
Функция спроса зависит от цены покупателя (\(P_d\)): \(Q_d = 400 - P_d\).
Функция предложения зависит от цены продавца (\(P_s\)): \(Q_s = 2 \cdot P_s - 260\).
Подставим \(P_s = 0.875 \cdot P_d\) в функцию предложения:
\[Q_s = 2 \cdot (0.875 \cdot P_d) - 260\] \[Q_s = 1.75 \cdot P_d - 260\]Теперь приравняем новую функцию предложения к функции спроса, чтобы найти новую равновесную цену для покупателя (\(P'_d\)):
\[400 - P'_d = 1.75 \cdot P'_d - 260\] \[400 + 260 = 1.75 \cdot P'_d + P'_d\] \[660 = 2.75 \cdot P'_d\]Разделим обе части на 2.75:
\[P'_d = \frac{660}{2.75} = 240\]Это цена, которую платит покупатель после введения налога.
Теперь найдем равновесный объем продаж после введения налога, подставив \(P'_d\) в функцию спроса:
\[Q'_e = 400 - P'_d = 400 - 240 = 160\]Теперь найдем цену, которую получает продавец (\(P'_s\)):
\[P'_s = 0.875 \cdot P'_d = 0.875 \cdot 240 = 210\]Проверим равновесный объем с помощью функции предложения для продавца:
\[Q'_e = 2 \cdot P'_s - 260 = 2 \cdot 210 - 260 = 420 - 260 = 160\]Равновесная цена для покупателя после налога \(P'_d = 240\) тыс. руб., равновесная цена для продавца \(P'_s = 210\) тыс. руб., равновесный объем \(Q'_e = 160\) тыс. шт.
Выводы:
До введения налога:
Равновесная цена: \(P_e = 220\) тыс. руб.
Равновесный объем: \(Q_e = 180\) тыс. шт.
После введения налога:
Цена для покупателя: \(P'_d = 240\) тыс. руб.
Цена для продавца: \(P'_s = 210\) тыс. руб.
Равновесный объем: \(Q'_e = 160\) тыс. шт.
Ответ:
Введение налога на продажи в размере 12,5% от цены приведет к следующим изменениям:
- Равновесная цена для покупателей увеличится с 220 тыс. руб. до 240 тыс. руб.
- Равновесная цена, получаемая продавцами, уменьшится с 220 тыс. руб. до 210 тыс. руб.
- Равновесный объем продаж уменьшится со 180 тыс. шт. до 160 тыс. шт.
Таким образом, налог приведет к росту цен для потребителей, снижению цен для производителей и сокращению объема продаж на рынке.