Решение неравенства -x^2 + 2x ≥ 0

Задание 4. Решите неравенство: \[ -x^2 + 2x \geqslant 0 \] Решение: 1. Для удобства умножим обе части неравенства на \(-1\). При этом знак неравенства изменится на противоположный: \[ x^2 - 2x \leqslant 0 \] 2. Разложим левую часть на множители, вынеся \(x\) за скобки: \[ x(x - 2) \leqslant 0 \] 3. Найдем корни соответствующего уравнения \(x(x - 2) = 0\): \[ x_1 = 0, \quad x_2 = 2 \] 4. Рассмотрим функцию \(f(x) = x^2 - 2x\). Графиком является парабола, ветви которой направлены вверх. Она пересекает ось \(Ox\) в точках \(0\) и \(2\). Значения функции меньше или равны нулю на отрезке между корнями. 5. Используя метод интервалов, определим знаки на промежутках: - При \(x \in (-\infty; 0)\) выражение \(x(x - 2) > 0\) - При \(x \in [0; 2]\) выражение \(x(x - 2) \leqslant 0\) - При \(x \in (2; +\infty)\) выражение \(x(x - 2) > 0\) Так как нам нужно найти значения, при которых выражение меньше или равно нулю, решением является отрезок: \[ x \in [0; 2] \] Ответ: \(x \in [0; 2]\) (четвертый вариант в списке).