Решение неравенства (2x + 5)(x + 7) ≤ 0

Задание 5. Решите неравенство: \[ (2x + 5)(x + 7) \leqslant 0 \] Решение: 1. Найдем корни уравнения, приравняв каждый множитель к нулю: \[ 2x + 5 = 0 \implies 2x = -5 \implies x_1 = -2,5 \] \[ x + 7 = 0 \implies x_2 = -7 \] 2. Отметим полученные точки на числовой прямой. Так как неравенство нестрогое (\( \leqslant \)), точки будут закрашенными. Эти точки разбивают прямую на три интервала: \[ (-\infty; -7], \quad [-7; -2,5], \quad [-2,5; +\infty) \] 3. Определим знак выражения на каждом интервале (метод интервалов): - Возьмем \( x = 0 \) из правого интервала: \( (2 \cdot 0 + 5)(0 + 7) = 5 \cdot 7 = 35 > 0 \). Знак «+». - Возьмем \( x = -3 \) из среднего интервала: \( (2 \cdot (-3) + 5)(-3 + 7) = (-1) \cdot 4 = -4 < 0 \). Знак «-». - Возьмем \( x = -10 \) из левого интервала: \( (2 \cdot (-10) + 5)(-10 + 7) = (-15) \cdot (-3) = 45 > 0 \). Знак «+». 4. Нам необходимо найти промежуток, где выражение меньше или равно нулю (\( \leqslant 0 \)). Это соответствует среднему интервалу. Ответ: \[ x \in [-7; -2,5] \] (Третий вариант в списке).