Решение Определенного Интеграла ∫x^5 dx от 1 до 2

Вот решение задачи, оформленное так, чтобы было удобно переписать в тетрадь школьнику: Вычислить определенный интеграл: \[ \int_{1}^{2} x^5 dx \] Ответ дать с точностью до одного знака после запятой. Решение: 1. Найдем первообразную функции \(f(x) = x^5\). Для этого воспользуемся формулой для интегрирования степенной функции: \[ \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \] В нашем случае \(n = 5\), поэтому: \[ \int x^5 dx = \frac{x^{5+1}}{5+1} = \frac{x^6}{6} \] 2. Теперь вычислим определенный интеграл, используя формулу Ньютона-Лейбница: \[ \int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a) \] где \(F(x)\) - первообразная функции \(f(x)\). В нашем случае \(a = 1\), \(b = 2\), и \(F(x) = \frac{x^6}{6}\). Подставим верхний и нижний пределы интегрирования в первообразную: \[ \int_{1}^{2} x^5 dx = \left[ \frac{x^6}{6} \right]_{1}^{2} \] \[ = \frac{2^6}{6} - \frac{1^6}{6} \] 3. Вычислим значения: \[ 2^6 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 64 \] \[ 1^6 = 1 \] Теперь подставим эти значения обратно: \[ = \frac{64}{6} - \frac{1}{6} \] \[ = \frac{64 - 1}{6} \] \[ = \frac{63}{6} \] 4. Разделим 63 на 6: \[ \frac{63}{6} = 10.5 \] 5. Ответ нужно дать с точностью до одного знака после запятой. Наш результат \(10.5\) уже соответствует этому требованию. Ответ: 10.5