Решение:

Задание: Найти значение выражения \[ \frac{1}{A_{20}^{4}} (A_{20}^{6} + A_{20}^{5}) \] Решение: 1. Вспомним формулу для числа размещений из \(n\) элементов по \(k\): \[ A_{n}^{k} = \frac{n!}{(n-k)!} \] 2. Распишем каждое слагаемое в скобках: \[ A_{20}^{6} = \frac{20!}{(20-6)!} = \frac{20!}{14!} \] \[ A_{20}^{5} = \frac{20!}{(20-5)!} = \frac{20!}{15!} \] 3. Распишем знаменатель перед скобкой: \[ A_{20}^{4} = \frac{20!}{(20-4)!} = \frac{20!}{16!} \] 4. Подставим эти значения в исходное выражение: \[ \frac{1}{\frac{20!}{16!}} \left( \frac{20!}{14!} + \frac{20!}{15!} \right) \] 5. Упростим дробь перед скобкой и вынесем \(20!\) за скобки: \[ \frac{16!}{20!} \cdot 20! \left( \frac{1}{14!} + \frac{1}{15!} \right) = 16! \left( \frac{1}{14!} + \frac{1}{15!} \right) \] 6. Раскроем скобки, умножая \(16!\) на каждое слагаемое: \[ \frac{16!}{14!} + \frac{16!}{15!} \] 7. Сократим факториалы: \[ \frac{16 \cdot 15 \cdot 14!}{14!} + \frac{16 \cdot 15!}{15!} = 16 \cdot 15 + 16 \] 8. Выполним вычисления: \[ 16 \cdot 15 = 240 \] \[ 240 + 16 = 256 \] Ответ: 256