Определение несобственного интеграла и решение примера

Чтобы определить число несобственных интегралов в данной группе, нужно вспомнить определение несобственного интеграла. Несобственный интеграл - это определенный интеграл, у которого либо хотя бы один из пределов интегрирования является бесконечностью (плюс или минус бесконечность), либо подынтегральная функция имеет разрыв второго рода (бесконечный разрыв) на отрезке интегрирования. Рассмотрим каждый интеграл по очереди: 1. \[ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \operatorname{tg}x dx \] Подынтегральная функция \(\operatorname{tg}x = \frac{\sin x}{\cos x}\). На отрезке интегрирования \([0, \frac{\pi}{2}]\), функция \(\cos x\) обращается в ноль при \(x = \frac{\pi}{2}\). При \(x \to \frac{\pi}{2}\), \(\operatorname{tg}x \to \infty\). Следовательно, подынтегральная функция имеет бесконечный разрыв на верхнем пределе интегрирования. Это несобственный интеграл. 2. \[ \int_{0}^{\infty} e^{-x^2} dx \] Один из пределов интегрирования является бесконечностью (\(\infty\)). Это несобственный интеграл. 3. \[ \int_{-1}^{1} \frac{dx}{x^2} \] Подынтегральная функция \(\frac{1}{x^2}\). На отрезке интегрирования \([-1, 1]\), функция \(\frac{1}{x^2}\) имеет разрыв при \(x = 0\), который находится внутри отрезка интегрирования. При \(x \to 0\), \(\frac{1}{x^2} \to \infty\). Следовательно, подынтегральная функция имеет бесконечный разрыв. Это несобственный интеграл. 4. \[ \int_{-1}^{1} \frac{dx}{x+1} \] Подынтегральная функция \(\frac{1}{x+1}\). На отрезке интегрирования \([-1, 1]\), функция \(\frac{1}{x+1}\) имеет разрыв при \(x = -1\), который является нижним пределом интегрирования. При \(x \to -1\), \(\frac{1}{x+1} \to \infty\). Следовательно, подынтегральная функция имеет бесконечный разрыв. Это несобственный интеграл. 5. \[ \int_{0}^{1} e^x dx \] Пределы интегрирования конечны (\(0\) и \(1\)). Подынтегральная функция \(e^x\) непрерывна на всем отрезке \([0, 1]\). Это обычный определенный (собственный) интеграл. 6. \[ \int_{1}^{2} \frac{dx}{x^2 - 4x + 4} \] Сначала упростим знаменатель: \(x^2 - 4x + 4 = (x-2)^2\). Тогда интеграл принимает вид: \[ \int_{1}^{2} \frac{dx}{(x-2)^2} \] Подынтегральная функция \(\frac{1}{(x-2)^2}\). На отрезке интегрирования \([1, 2]\), функция \(\frac{1}{(x-2)^2}\) имеет разрыв при \(x = 2\), который является верхним пределом интегрирования. При \(x \to 2\), \(\frac{1}{(x-2)^2} \to \infty\). Следовательно, подынтегральная функция имеет бесконечный разрыв. Это несобственный интеграл. Подсчитаем количество несобственных интегралов: 1. \(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \operatorname{tg}x dx\) - несобственный 2. \(\int_{0}^{\infty} e^{-x^2} dx\) - несобственный 3. \(\int_{-1}^{1} \frac{dx}{x^2}\) - несобственный 4. \(\int_{-1}^{1} \frac{dx}{x+1}\) - несобственный 5. \(\int_{0}^{1} e^x dx\) - собственный 6. \(\int_{1}^{2} \frac{dx}{x^2 - 4x + 4}\) - несобственный Всего 5 несобственных интегралов. Ответ: 5