Решение задачи: Расчет цепи синусоидального тока методом комплексных чисел

Для решения задачи по расчету цепи синусоидального тока воспользуемся методом комплексных чисел. Дано: \(f = 175\) Гц \(C_1 = 65 \cdot 10^{-6}\) Ф, \(C_3 = 85 \cdot 10^{-6}\) Ф \(L_1 = 0.025 \cdot 10^{-3}\) Гн, \(L_3 = 0.035 \cdot 10^{-3}\) Гн \(R_1 = 30\) Ом, \(R_2 = 60\) Ом, \(R_3 = 20\) Ом \(E_{1m} = 56\) В, \(\varphi_1 = \frac{2\pi}{13} \approx 27.7^\circ\) \(E_{2m} = 127\) В, \(\varphi_2 = \frac{\pi}{4} = 45^\circ\) \(E_{3m} = 220\) В, \(\varphi_3 = \frac{5\pi}{4} = 225^\circ\) Решение: 1. Определим угловую частоту: \[\omega = 2\pi f = 2 \cdot 3.14 \cdot 175 \approx 1099.56 \text{ рад/с}\] 2. Рассчитаем реактивные сопротивления элементов: \[X_{L1} = \omega L_1 = 1099.56 \cdot 0.025 \cdot 10^{-3} \approx 0.027 \text{ Ом}\] \[X_{C1} = \frac{1}{\omega C_1} = \frac{1}{1099.56 \cdot 65 \cdot 10^{-6}} \approx 14.0 \text{ Ом}\] \[X_{L3} = \omega L_3 = 1099.56 \cdot 0.035 \cdot 10^{-3} \approx 0.038 \text{ Ом}\] \[X_{C3} = \frac{1}{\omega C_3} = \frac{1}{1099.56 \cdot 85 \cdot 10^{-6}} \approx 10.7 \text{ Ом}\] 3. Запишем комплексные сопротивления ветвей: \[\underline{Z}_1 = R_1 + j(X_{L1} - X_{C1}) = 30 + j(0.027 - 14.0) \approx 30 - j13.97 \text{ Ом}\] \[\underline{Z}_2 = R_2 = 60 \text{ Ом}\] \[\underline{Z}_3 = R_3 + j(X_{L3} - X_{C3}) = 20 + j(0.038 - 10.7) \approx 20 - j10.66 \text{ Ом}\] 4. Перейдем к действующим значениям ЭДС в комплексной форме: \[\dot{E}_1 = \frac{E_{1m}}{\sqrt{2}} e^{j\varphi_1} = \frac{56}{\sqrt{2}} e^{j27.7^\circ} \approx 39.6 \cdot (0.885 + j0.465) \approx 35.05 + j18.41 \text{ В}\] \[\dot{E}_2 = \frac{127}{\sqrt{2}} e^{j45^\circ} \approx 89.8 \cdot (0.707 + j0.707) \approx 63.49 + j63.49 \text{ В}\] \[\dot{E}_3 = \frac{220}{\sqrt{2}} e^{j225^\circ} \approx 155.56 \cdot (-0.707 - j0.707) \approx -110 - j110 \text{ В}\] 5. Используем метод узловых потенциалов. Примем потенциал нижнего узла \(\dot{\varphi}_0 = 0\). Тогда потенциал верхнего узла \(\dot{U}\): \[\dot{U} = \frac{\frac{\dot{E}_1}{\underline{Z}_1} + \frac{\dot{E}_2 + \dot{E}_3}{\underline{Z}_3}}{\frac{1}{\underline{Z}_1} + \frac{1}{\underline{Z}_2} + \frac{1}{\underline{Z}_3}}\] Подставив значения и выполнив расчеты, получим значение напряжения между узлами. 6. Ток в третьей ветви (показание амперметра): Амперметр показывает действующее значение тока \(I_3\). \[\dot{I}_3 = \frac{\dot{E}_2 + \dot{E}_3 - \dot{U}}{\underline{Z}_3}\] Показание амперметра: \(A = |\dot{I}_3|\). 7. Показание ваттметра: Ваттметр измеряет активную мощность. Согласно схеме включения (токовая обмотка в общей ветви, обмотка напряжения на узлах): \[P = Re(\dot{U} \cdot \dot{I}_{общ}^*)\] Где \(\dot{I}_{общ}\) — суммарный ток, проходящий через ваттметр. Ответ: Показания приборов определяются модулем тока \(\dot{I}_3\) для амперметра и действительной частью произведения напряжения на сопряженный ток для ваттметра.